概率论与数理统计2.1随机变量的分布与数字特征.pdf

第 2 章 随机变量的分布与数字特征 §2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数字特征 §2.3 常用的离散型分布 §2.4 常用的连续型分布 §2.5 随机变量函数的分布 §2.1 随机变量及其分布 一、随机变量的概念 二、离散型随机变量的概率分布 三、分布函数 四、离散型随机变量的分布函数 五、连续型随机变量及其概率密度 一、随机变量的概念 随机变量的直观定义 • 从直观上讲，随机变量就是基本结果的数量特 征。这些数值因试验结果的不确定性而带有随机 性，因此称为随机变量。 • 随机变量是概率论的重要概念，把试验的基本结 果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解， 还可借助更多的数学知识对其进行深入研究。 • 有的基本结果本身就是由数值来表示，如掷骰子 的点数、灯泡的使用寿命等。 • 而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联 系，如抛硬币时规定出现正面时用1表示，出现反 面时用0表示。 例1 将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三 次投掷中，出现H的总次数，而对H，T出现的 顺序不关心。以X记三次投掷中出现H的总次 数，那么，对样本空间Ω={ ω}中的每一个样本 点ω，X都有一个值与之对应，即有 样本点 HHH HHT HTH HTT THT TTH TTT X的值 3 2 2 1 1 1 0 随机变量的数学定义 设E是一个随机试验，Ω是其样本空间。我们称样本 空间上的函数     X X   为一个随机变量，如果对于任意的实数x，集合       ：X  x X x 都是随机事件。 随机变量X生成的事件域：  ω X   随机变量X所包含的信息 R 集： Ω (X ) 包含所有形如{X x } 的事件的最 小事件域 事件域的数学定义 事件域: 由一些事件组成的满足以下三个条件的集合 (信息集) F ： (1) Ω∈F ； (2) 若A ∈F ，则A ∈F ； (3) 若A ，A ，… ，A ，… ∈F ， 1 2 n  则 iA ∈F 。 1i 说 明 ⑴ 随机变量常用大写的英文字母 X 、Y、Z 、 或希腊字母 、 、 、 等来表示。 ⑵ 对于随机变量，我们常常关心的是它的取值，随 机变量的值常用小写英文字母x 、y 、z 、 表示。 ⑶ 我们定义随机变量，是要用随机变量的取值来描 述随机事件。 (4)概率在随机变量值域上的分配情况称为随机变量的 概率分布。概率分布完整