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2016年考研数学真题之函数零点分析 函数零点即方程的根，这是数学中的一个基本问题，从小学的一元一次方程 到中学的一元二次方程，再到大学的函数零点，都是关于方程根的问题 在历年 的考研数学真题中，这类问题时常出现，如：数学一的2004年第18题、2005 年第18题、2008年第1题，数学二的2008年第1题、2012年第21题，数学三 的2005年第7题，关于这类问题都有哪些解决方法，以及今年考了什么题，下 面文都网校的数学蔡老师就跟大家分析一下，供各位参考 一、函数零点问题解题方法 零点定义：若f (x )0，则称 为x f (x)的零点；零点即方程f (x)0的根 0 0 求解函数零点问题主要有三个工具： 1. f (x) [ab, ] f (a)f (b)0 f (x) (ab, ) 零点定理：若函数 在 上连续，且 ，则 在 上 至少存在一个零点 2. f (x) [ab, ] 单调性：若函数 在 上连续且单调 （单调增加或单调减少），则：当 f (a)f (b)0 f (x) (ab, ) f (a)f (b)0 f (x) (ab, ) 时， 在 上有唯一零点；当 时， 在 上没有零点 3. f (x) [ab, ] (ab, ) f (a)=f (b) 罗尔中值定理：若函数 在 上连续，在 上可导，且 ，  则至少存在一点 (ab, )，使f ()0. 二、2016真题分析  3 2016年考研数学（二）第 （21）题 （本题满分11分）：已知 在 上连 f (x) 0, 2   3  cosx 续，在0,  内是函数 的一个原函数，f (0)0.  2  2x3  3 （Ⅰ）求 在区间 上的平均值； f (x) 0, 2   3  （Ⅱ）证明 在区间 内存在唯一零点 f (x) 0,   2  x cost x cost 解析：(1)由题设知f (x)0 2t3 dt c.f (0)0c 0f (x).0 2t3dt 1 3 π 则函数平均值为.02 f (x)dx  2 23πdx x cost dt 2 23πdt 23π cost dx  