矩阵分析___第五章_研究课程.ppt

第四节 矩阵的微分与积分 定义11:当函数矩阵 可导时,其微分 性质: , ,( 为常数), ( 可微) 定义12:如果函数矩阵 中各元素 均对 可积,则称 可积,且 的不定积分和定积分分别为: 性质: ,( 为常数), ,等等. 例1:设 ,求 及 . 特别， 当 为向量 时， 函数 对 之导数为 例3： 设 求 解： 对矩阵 三、矩阵对矩阵的导数 定义10： 设矩阵 中每一个元素 都是矩阵 中各元素 的函数， 当 对 中各元素都可导时， 则称矩阵 可导， 且规定 对 的导数为 其中 是一个 矩阵。 例4： 设 求 解： 则 这里 元素是1， 其余元素都是0的 矩阵。 例5： 设 其中 如果 都存在， 对 可导且 * * 第五章 矩阵分析 ★ 向量与矩阵的范数 ★ 向量与矩阵序列的收敛性 ★ 矩阵的导数 ★ 矩阵的微分与积分 体的集合， 定义1： 设 是数域 上 维（数组）向量全 是定义在 上的一个实值函数， 如果该函数关系还满足如下条件： 第一节　向量与矩阵的范数 1） 非负性 对 中任何向量 恒有 并且仅当 时， 才有 2） 齐次性 对 中任意的量 及 中任意常数 有 （有时表示为 ）?为 一种向量范数。 则称此函数 3） 三角不等式， 对任意 有 上的 例1： 对 中向量 定义 则 为 上的一种向量范数 [ 表示复数 的模] 例2： 对 [或 ]上向量 定义 则 及 都是 [或 ]上的向量范数。 证明： 1） 当 时， 显然有 2） 对 向量 3） 对 向量 一般地， 对于任何不小于1的正数 向量 的函数 也构成向量范数， 称为向量的P-范数。 综上可知 确为向量范数。 上两例中的 是常用的三种向量范数。 定义2： 设 是数域F上所有 矩阵的集合， 是定义在 上的一个实值函数， 关系还满足如下条件： 对 中任意矩阵 及 中任意常数 总有 定理1： 设 为任意两种向量范数， 正的常数 使得对一切向量 恒有 例3 ： 设 为 维向量， 则 则存在 （这里 不限于P-范数） 如果该函数 1） 非负性 并且仅当 时， 才有 2） 齐次性 3） 三角不等式 则称 是 上的一种矩阵范数。 对 （或 ）上的矩阵 定义 则 都是 （或 ）上的矩阵范数。 例4： 对 上的矩阵 定义 则 是一种矩阵范数， 并且具备乘法相容性。 定义3： 是数域， 是 上的方阵范数， 如果对任意的 总有 则说方阵范数 具有乘法相容性。 设 证明： 非负性与齐次性显然成立， 另两条证明 三角不等式 如下： 则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。 定义4： 如果 阶矩阵 的范数 与 维向量 的范数 对任意 阶矩阵 及任意 维向量 均有 乘法相容性 证得 为矩阵范数且具有乘法相容性。 则 为方阵范数， 它具有乘法相容性并且与 相容。 定理2： 设 是某种向量范数， 对 阶矩阵 定义 向量范数 例如对于 上的方阵范数 取 则易见 而 可见方阵范数 不具备乘法 相容性。 是常用的矩阵范数， 例5： 证明： 对 阶复矩阵 有 1） （列模和） 2） （行模和） 例6： 证明对 阶复矩阵 有 这里 是 的奇异值。 又称为谱范数。 定理3： 设 是任意两种矩阵范数， 则有正实数 使对一切矩阵 恒有 第二节 向量与矩阵序列的收敛性 定义5： 设有向量序列 如果对 数列 均收敛且有 则说向量序列 收敛， 如记 则称