第八节：二次曲面.ppt

第八节 二次曲面 * 二次曲面的定义：若三元方程 F ( x , y , z ) = 0 是一个三元二次方程，则所对应的空间曲面称 为二次曲面。 相应地三元一次方程 A x +B y + C z +D = 0 所表示的平面被称为一次曲面． 了解空间曲面形状的两种常用方法： （1）截痕法 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． （2）伸缩变形法： 平面图形的伸缩变形法 图形 C′ 由图形 C 沿 y 轴 方向伸缩 ? 倍而得到。 问题1：如何确定C′ 的方程？ 结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩 ?倍而得到平面曲线 C′ ， 则 C′ 的平面方程为： 结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩 ?倍而得到平面曲线C′ ， 则 C′ 的平面方程为： 结论2：将平面曲线C ：F ( x , y ) = 0 沿 x 轴方向伸缩 ?倍而得到平面曲线C′ ， 则 C′ 的平面方程为： 结论3：将空间曲面C ：F ( x , y , z ) = 0 沿 y 轴方向伸 缩 ?倍而得到空间曲面C′ ， 则 C′ 的方程为： 下面用上述两种方法研究一些特殊二次曲面的形状 （一）椭球面 （1）将 xoy 面上的椭圆 绕 x 轴旋转，所得旋转曲面称为旋转椭球面，其方程为 （2）再将其沿 z 轴方向伸缩 倍： 即得 当 a = b = c 时，椭球面即为球面： 椭球面也可由下面方法伸缩变形而来 （1）将球面 沿 z 轴方向伸缩 倍： 得旋转椭球面： （2）再将旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩 倍： 即得椭球面： 所以，球面是旋转椭球面的特殊情形，而后者又是椭 球面的特殊情形。 （二）抛物面 （1）椭圆抛物面 由 xoy 面上的抛物线： 绕 z 轴旋转，得一旋转抛物面： 再将其沿 y 轴方向伸缩 倍： 即得椭圆抛物面： （2）双曲抛物面（马鞍面） 其图形不可由旋转曲面伸缩变形而来 可用截痕法讨论其图形的形状。 （三）双曲面 （1）单叶双曲面 （2）双叶双曲面 可由旋转单叶双曲面伸缩变形得到 可由旋转双叶双曲 面伸缩变形得到 （四）椭圆锥面 圆锥面方程： 将其在 y 轴方向上伸缩 倍后的图形，其方程为 即椭圆锥面的图形是由圆锥面 C： 在 y 轴方向上伸缩 倍后而得到的 又称二次锥面 （五）柱面 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 母线平行于 z 轴 母线平行于 z 轴 母线平行于 z 轴 小结: 常见的二次曲面的方程及其图形 （1）球面 （2）椭球面 （3）双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 （4）抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面（马鞍面） （5）柱面 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 圆柱面 习题7?8: 2(1, 4) 第七章作业 第八节：二次曲面