复化辛卜生公式在互通立交工程坐标计算中的应用1.doc

SKIPIF 1 0 复化辛卜生积分公式在互通立交工程中坐标计算及VB编程中的应用 摘要：互通立交中的匝道线形复杂，复化辛卜生坐标计算公式是适合任何线型坐标计算的万能公式，因而也有利于手工和编程实现复杂曲线的坐标计算。 关键词：复化辛卜生；积分；互通立交；坐标计算；VB编程；应用 引言 匝道是组成高等级的公路立交的基本单元，其线形千变万化。就线形而言，它是直线、回旋线、园曲线段组成。对于互通立交匝道涉及多个基本曲线，设计半径较小，这就给坐标计算带来了困难。本文从微积分的角度，利用复化辛卜生积分公式推导公路匝道点位坐标计算公式，并简述在诸永高速怀鲁枢纽互通立交工程中坐标计算及编程中的应用。 复化辛卜生积分公式的基本原理及坐标计算公式的简单推导 1、复化辛卜生积分公式的基本原理 由数值计算的知识可知，等距节点的插值型求积分式为： SKIPIF 1 0 ≈ SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ?其中 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 式称为牛顿-柯斯特 (Newtow-Cotes) 公式。 SKIPIF 1 0 称为柯斯特系数，容易计算出： 当 SKIPIF 1 0 时, SKIPIF 1 0 ,三个节点分别为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 于是相应的积分公式为 SKIPIF 1 0 上面的（2）式就是后面我们推导要用的最基本的公式，其几何意义是用抛物线围成的曲边梯形面积近似代替曲边梯形的面积。在实际计算中，若积分区间比较长，直接使用上面的求积公式精度难以保证，通常采用复化求积的方法，即把 SKIPIF 1 0 区间n等分，记分点为 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,再在每个小区间 SKIPIF 1 0 上使用低阶的牛顿-柯斯特公式,求得小区间上的近似值 SKIPIF 1 0 ,再求和,使用此和作为积分 SKIPIF 1 0 近似值。 2、复化辛卜生坐标计算公式的推导 如图1所示，一段长为l的回旋线起点A的曲率半径为 SKIPIF 1 0 ，其里程为 SKIPIF 1 0 ，回旋线终点为B，曲率半径为 SKIPIF 1 0 ，其里程为 SKIPIF 1 0 ，AXY为线路坐标系，AX′Y′为以A点为坐标原点，以A的切线为X′轴的局部坐标系。 图1 eq \o\ac(○,1) 回旋线任一点处切线方位角推导 由于回旋线上的各点的曲率半径 SKIPIF 1 0 和该点离曲线起点距离 SKIPIF 1 0 成反比,故任意点的曲率为 SKIPIF 1 0 (C为常数)…………(3) 由(3)式知:回旋线上的任意点的曲率按线性变化,由此回旋线上里程为 SKIPIF 1 0 点处的曲率为: SKIPIF 1 0 * SKIPIF 1 0 在图1 中， SKIPIF 1 0 对上式积分并将（4）式代入得： SKIPIF 1 0 若已知回旋线起点A在线路坐标系下的切线坐标系下的方位角 SKIPIF 1 0 ，则里程 SKIPIF 1 0 点的切线方位角为： SKIPIF 1 0 因此有： SKIPIF 1 0 （6）式就是计算一段线元上任一点切线方位角公式。 eq \o\ac(○,2) 回旋线上任意点的坐标计算公式 由图1知： SKIPIF 1 0 设回旋线上起点坐标为 SKIPIF 1 0 ，将（7）式积分，便易得回旋线上任意点在线路坐标系下的坐标计算计算公式： SKIPIF 1 0 .........(8) 对（8）式的后半部是定积分，我们引入复化辛卜