向量的共线定理.pptVIP

* （1） 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下： （2）当 时， 的方向与 的方向相同； 当 时， 的方向与 的方向相反。 特别的，当 时， 回顾旧知: 设 为实数，那么 第一分配律 第二分配律 练习： 已知非零向量 ，求向量 的模 结论： ① 是单位向量 ③与 反向的单位向量是 ②与 同向的单位向量是 ④与 平行的单位向量是 如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点, (1)BC和DE的关系如何? (2)能否将DE用BC线性表示? E D C A B 探索1 若|a|=3,|b|=6,a与b方向相同,能用a表示b吗？ 若|a|=3,|b|=6,a与b方向相反,能用a表示b吗？ 你能总结出向量共线的一个条件吗？ 　如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)， 那么b与a是共线向量； 反之，如果b与a(a≠0)是共线向量， 那么有且只有一个实数λ,使b＝λa． 共线向量定理: 注:(1)定理包含正反两层意思; (2)定理的一个重要条件a≠0; (3)λ符号决定两个向量是同向还是反 向;λ的绝对值决定两个向量长度关系； 判断: (1)若a//b则存在唯一的实数λ,使b=λa; (2)若a//b,则存在不全为零的实数λ,μ使λa+μb=0; (3)已知a与b不共线,若λa+μb=0, 则λ=μ=0. × √ √ 例1.如图,△OAB中,C为直线AB上一点, AC＝λCB（λ≠－１）． 求证： ． A O B C 分析:将已知条件中的AC，CB用结论式中的OA，OB，OC表示，进而解出OC． 运用 证明：　 因为AC＝OC－OA， CB＝OB－OC， 又AC＝λCB， 所以OC－OA＝λ（OB－OC）， 即　（１＋λ）OC＝OA＋λOB 又因为　λ≠－１，即　１＋λ≠０， 所以 ． A O B C 特例：当λ＝１时,你能得到什么结论？ 若C为线段AB的中点,O为任意一点,则 结论：已知OA、OB不共线，若P、A、B三点共线 则 则P、A、B三点共线. 若O是平面上任意一点,且 若O是平面上任意一点,且 其中, 则P、A、B三点共线 等价命题：OA、OB不共线，若P、A、B三点共线,则 其中 例2.设e1,e2是两个不共线向量, 判断下列各题中的向量a,b是否共线? (1)a=5e1,b=－7e1; (2)a= e1－ e2, b=3e1－2e2; (3)a=e1+e2 , b=3e1－3e2. 共线 共线 运用 例3.设e1,e2是两个不共线的向量, 已知向量AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2, CD=2e1+e2, 若A、B、D三点共线, 求k的值. 解：∵A、B、D三点共线, ∴AB//BD， 而AB=2e1+ke2,, BD=CD-CB=e1-2e2， 显然BD≠0， 则存在实数λ使得AB=λBD ， 即2e1+ke2=λ(e1-2e2 )， 得(2-λ)e1+(k+2λ)e2=0， ∵ e1, e2不共线, ∴2?λ=0，k+2λ=0， 解得k=?4. 运用 例4.如图,已知G是△OAB重心,求证： B C A D 运用 G ·E 例5:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的 中点，点N是BD上的一点， ， 求证：M、N、C三点共线. A M B C D N 提示：设AB = a BC = b 则MN= … = a + b MC= … = a+ b 所以M.N.C三点共线 * * *