函数的连续性教学课件.ppt

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2019-06-21 发布于山东
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x1 x2 y = f (x) b a y x O M m x1 x2 y = f (x) b a y x O C x1 x2 x3 3.介值性质定理５在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值 m之间的任何值. 即: 　　　　　　则在　上至少存在一点　，使得． C是介于M与m 之间的任一实数, 即下一页上一页返回 4.零点(方程根)的存在性点x=x0为函数f(x)的零点．如果存在x0，使得f(x0)=0,则称且 f (a) · f (b) 0，则至少存在一点ξ?（a, b），使得 f (ξ) = 0. 零点存在性定义　若 f (x) 在 [a, b] 上连续，由于函数的零点即是方程的根，因此又把它说成是方程根的存在性. 下一页上一页返回 a b x y O y = f (x) c 一条连续曲线，若其上的点的纵坐标由负值几何意义变到正值或由正值变到负值时，则曲线至少要穿过 x 轴一次. 下一页上一页返回例7　证明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至少有一个实根. 证　设 f (x) = x3 - 4x2 + 1，由于它在 [0, 1] 上连续且 f (0) = 1 0， f (1) = - 2 0，因此由推论可知，至少存在一点 c ? (0, 1) ，使得 f (c) = 0.这表明所给方程在 (0, 1) 内至少有一个实根 . 下一页上一页返回五、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.区间上的连续函数; 4.初等函数的连续性； 5.求极限的又一种方法. 2.间断点的判别; 函数连续性的讨论方法　　讨论函数f(x)的连续性时,若f(x)是初等函数,则由“初等函数在其定义区间内连续”的基本结论,只要找出f(x)没有定义的点,这些点就是f(x)的间断点.若f(x)是分段函数，则在段点处往往要从左,右极限入手讨论极限,函数值等,根据函数的点连续性定义去判断;在非分段点处,根据该点所在子区间上函数的表达式,按初等函数进行讨论．下一页上一页返回在x=0与x=1处的连续性．练习讨论函数下一页上一页返回复习：例应当先将该函数的分子有理化，消去为零的因子 x，再计算极限，即解这是一个型的极限问题. 一、函数连续性的概念 1.6 函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质四、初等函数的连续性下一页上一页返回二、函数的间断点一、函数连续性的概念引例考察下列4个函数及图象： x y o 1 1 2 3 y o P(1,a) (a0) 2 (1) (2) 1 x 下一页上一页返回 x y o 1 y o 1 x (4) (3) 下一页上一页返回数值，说明函数曲线是否断开与点的极限它们在之外的曲线是连在一起的，而在处恰恰相反，是断开的.在求多项式函数的极限时用到而其他一些函数就不能保证极限值就是函值和函数值有关. 下一页上一页返回　定义 1（函数值法）设函数 y = f (x) 在点x0 及其左右近旁有定义，且则称函数 y = f ( x ) 在点 x0 处连续，或称点x0 为函数 y = f (x) 的连续点 . 1.点连续性的定义下一页上一页返回若函数y = f (x)的自变量 x 在点x0发生微小的改变量（或增量），记为 ?x = x - x0 ，此时相应的函数值由f (x0)变到f (x)，记 ? y = f (x) - f (x0)或 ? y = f (x0+ ?x) - f (x０) ，称为函数 y = f (x) 在点 x0 处的增量. 函数增量下一页上一页返回定义 2（增量法）设函数 y = f (x) 在点 x0 及其左右近旁有定义，如果则称函数 y = f (x) 在点 x0 处连续. 称点x0为函数y = f (x)的连续点. 下一页上一页返回例1 证由定义1知：下一页上一页返回注意下一页上一页返回例2 解即函数 f (x) 在点 x =0 处极限不存在 , 下一页上一页返回二、函数的间断点定义如果函数 f (x) 在点 x0 处不连续，则称点x0 是函数 y = f (x) 的间断点. 也称函数在该点间断. 1.间断点的概念下一页上一页返回