第十章多元函数微分学.docVIP

第十章 多元函数微分学 内容提要 函数 （1）笛卡尔集 迪卡尔集的定义 距离、邻域 内点、边界点、外点 区域 （2） SKIPIF 1 0 的连续性 点列、极限 连续性定理 （3）多元函数 二元函数的极限与连续 （1）二元函数的极限 重极限 累次极限 换限定理 极限的四则运算 （2）二元函数的连续性 连续与一致连续 复合函数的连续性 连续函数的保号性 闭区域上连续函数的性质 多元函数微分法 （1）偏导数的定义及其几何意义 （2）可微的必要条件和中值定理 （3）可微的几何意义 空间曲面的切平面 空间曲面的法线 （4）复合函数的导数和偏导数 （5）可微函数的方向导数 方向导数的定义 方向导数的计算公式 二元函数的泰勒公式 （1）高阶偏导数 定义 混合高阶偏导求导顺序可交换 （2）泰勒公式 （3）局部极值 必要条件 充分条件 难点剖析 本章内容虽多，但其本思想属于一元的情形，学习时要把两者进行比较。解决问题时常常要把多元的情形化为一元的情形。函数的连续性、可微性、偏导数的存在性、可微性、偏导数连续之间的关系、二元函数的泰勒定理与极值是本章之重点与难点。 典型例题 例1设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的导集。证明： SKIPIF 1 0 为闭集，且不含有孤立点的充要条件是 SKIPIF 1 0 。 证明：充分性。由 SKIPIF 1 0 知 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 为闭集；进一步， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 不含孤立点。 必要性。由 SKIPIF 1 0 为闭集，且不含孤立点。 SKIPIF 1 0 例2 设 SKIPIF 1 0 ，证明： SKIPIF 1 0 证明： SKIPIF 1 0 因有极限点列必为有界点列，故存在 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 。令 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 。 于是当 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， 即 SKIPIF 1 0 。 例3 设 SKIPIF 1 0 ，证明： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 证明：（1） SKIPIF 1 0 ，由内点定义， SKIPIF 1 0 邻域 SKIPIF 1 0 ，因而 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，即得 SKIPIF 1 0 。 SKIPIF 1 0 ，这等价于 SKIPIF 1 0 ，由内点定义 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，即得 SKIPIF 1 0 联合（a）式与（b）式便得 SKIPIF 1 0 。 （2）因 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故有 SKIPIF 1 0 另一方面， SKIPIF 1 0 由此有 SKIPIF 1 0 ，进一步，有 SKIPIF 1 0 联合式（a）与式(b)变得 S