第三节、三重积分在直角坐标系下的计算.pptVIP

一、坐标面投影法 三、利用对称性简化三重积分的计算 * 三重积分在直角坐标系下的计算 一、坐标面投影法 (先单后重) 二、坐标轴投影法(截面法,先重后单) 三、利用对称性简化三重积分的计算 (先单后重法) 这就化为一个定积分和一个二重积分的运算 x 0 z y a b c d z=g z=e N M P ? =[a ,b ; c ,d ; e ,g] I = 积分区域是长方体 . . ? D 同理，也有其它 积分顺序 例1:计算三重积分 z =0 y = 0 x =0 0 y x ?：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域 先画图 x 0 z y 1 1 Dxy Dxy: x = 0, y = 0, x+2y =1 围成 z = 0 1 . . . 例2.计算三重积分 x + 2y + z =1 Dxy I = 其中? 为三个坐标 例2. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. y = 0, z = 0 和 x+y+z =1所围成的四面体. 解: ?在xy面上的投影区域为 Dxy : 0 ? y ?1?x, 0 ? x ?1. 沿 z 轴方向,下方曲面: z=0, 上方曲面: z = 1? x ? y. y 0 z x 1 1 1 Dxy x+ y=1 x+ y+z=1 类似, 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . 例4. x 0 z y ?：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z=6所围成的区域 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 4. 6 6 6 x 0 z y 4 2 ?：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z=6所围成的区域 4 2 x+y+z=6 . 4. x 0 z y 6 6 6 ?：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z=6所围成的区域 4 2 . D x+y+z=6 0 y x 6 2 4 D . . x 0 z y 6 6 6 ?：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z=6所围成的区域 例4. ?：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z=6所围成的区域 0 y x 6 2 4 1 找出上顶、下底及投影区域 2 画出投影区域图 Dxy: y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成 z = 0 不画立体图做三重积分 Dxy . . 例4. 1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy . p164.1(1) z =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 1 1 z =0 o z x x+ y=1 y ? 。 。 z=xy . Dxy: z =0 0 y x 1 1 。 。 Dxy P164.1(1) 双曲抛物面 Dxy: z = 0 4 4 0 y x 。 。 Dxy 7. y 1 4 x+ y = 4 x = 0 x z o 1 . 7. 1 4 x+ y = 4 y = 0 x y z ? . D . . 7. o 　　设空间有界闭区域 ? 满足C1 ? z ? C2, 并且以平行 于 xy 面的平面 z = 常数(z) 截 ? 所得平面区域为Dz , 则 0 y z x C1 C2 z Dz ? 坐标轴投影法(截面法) 二、坐标轴投影法(截面法) 先重后单法) (特别, 若 f (x, y, z) = g (z)) 例1. 解: ?: ?c ? z ? c , (x, y)?Dz , y z x 0 ?c c Dz ? 椭圆面积为?ab. 例2 解 使用对称性时应注意 1.积分区域关于坐标面的对称性. 2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇 偶性. 只有当积分区域和被积函数的