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PAGE PAGE 87 第七章 参数估计 §7.1 参数的点估计 §7.2 估计量的评选标准 填空题 1．矩估计法是通过 参数 与 总体矩 的联系，解出参数，并用 样本矩 代替 总体矩 而得到参数估计的一种方法； 2．极大似然估计法是在 总体分布形式 已知情况下的一种点估计方法； 3．设是正态总体的一个样本，则的极大似然估计为 ；总体方差的矩估计为 ； 4.设为未知参数的估计量，若，则称为的无偏估计量； 5．设为总体的一个样本，则总体均值的无偏估计为 ；总体方差的无偏估计为 ； 6.设总体服从二项分布已知，是来自的样本，则的极大似然估计量为； 解 ， ， ， 令得到。 7.在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布，若以表示次称量结果的算术平均值，则为使，的最小值应不小于自然数16。 解 ，所以 ，解得所以只需，得到。 计算下列各题 1. 设来自指数分布的一个样本，试求的 矩估计。 解 ，令， 所以的矩估计为。 设总体的密度函数为，是取自的简单随机样本，（1）求的矩估计量；（2）求的方差。 解 （1）因为 令即，所以的矩估计量为； （2）由于 所以。 设总体服从两点分布（０-１分布），为未知参数，。是来自该总体的简单随机样本，试求未知参数的矩估计和极大似然估计。 解 (1) ，所以的矩估计； 。 设总体的密度函数为，其中是未知参数，是来自该总体的一个简单随机样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。 解（1）矩法 ，令，则，所以的矩估计 ； （2）极大似然法 ，故， 并且令， 解得。 设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的矩估计量及极大似然估计量。 解 （1）总体的分布律为，因为 ，所以令，得到的矩估计量为； （2）样本的似然函数为，则 ，令，解得的极大似然估计量为。 设总体其中未知，为其子样，试证下述统计量： , , 都是的无偏估计，并指明哪个估计“最好”。 证 同理可得, 故均为的无偏估计。 又 同理可得 , , , 故最好。 7.(1)设是来自总体的样本，，试证是的无偏估计量； （2）试证在的一切形为的估计中，为最有效的。 证 （1）因为，所以是的无偏估计； (2)，下面求函数在条件下的极小值点。为此令 ， 令解得，得，从而得，从而证明了最有效。 8. 设为正态总体的一个样本，试适当选择，使为的无偏估计。 解 ＝ ＝，。 9.设是参数的两个相互独立的无偏估计，且，找出常数使也是的无偏估计，并且使它在所有的这种形状的估计量中方差最小。 解 要使,只需 即可； ， 即求最小值，且。 设 ，令, 解得。 10.设分别来自总体和中抽取容量为的两独立样本，其样本方差分别为，试证，对于任意常数，都是的无偏估计，并确定常数使达到最小。 证 因为对于正态分布来说，样本方差为其总体方差的无偏估计，即， 而，所以 是的无偏估计。 又因为，所以 ，所以 由二次函数性质知，当时取最小值。这时，所以 当，时取最小。 11.设某产品的寿命的概率密度为，是测得个样品的寿命，试求（1）的矩估计量；（2）的极大似然估计量。 解 （1）由已知， ， 令，解得 ，其中； （2）似然函数 ， 所以， 因为，所以是的单调增函数，所以，故当时，取得最大值，故应取。 又令得，当时，由 ，知在处达到最大，故有，从而得的极大似然估计量为 ， §7.3 参数的区间估计 一、填空题 1. 设由来自正态总体，容量为的样本，得样本均值，则未知参数的置信度为的置信区间是 ； 2.方差未知时,数学期望的置信度为的置信区间是； 方差的置信度为的置信区间为 ； 4. 设是取自正态总体的样本，其中和都是未知参数，的置信度为的置信上限为 ； 5.设总体，是来自的样本，总体是来自的样本，为已知常数，两个样本相互独立，则的置信度为的置信区间为。 二、计算下列各题 1. 某种零件的长度服从正态分布，已知总体的标准差，从总体中抽取200个零件组成样本，测得它们的平均长度为8.8cm，试估计在95%置信度下，全部零件平均长度的置信区间。 解　 ，对应于 ,所以 ，查表得 ， 因而置信区间为， 即。 2. 某县1996年进行的一项抽样调查结果表明：调查的400户农民家庭每人每年的化纤布消费量为3.3m。根据过去的资料可知总体方差为0.96，试以95%的置信度估计该县1996年农民家庭平均每人化纤布消费的置信区间。 解　　，对应于