高数下9.3三重积分及其计算.pptVIP

* 将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数, 就得到三重积分的定义. §9.3 三重积分及其计算 一、三重积分的概念 三重积分的物理背景 以?(x, y, z)为体密度函数的空间物体?的质量. 首先, 将闭区域? 任意分成 n个小闭区域?v1, ?v2, ???, ?vn, 其中?vi 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每个?vi上任取一点(?i, ?i, ?i ), 作乘积?(?i, ?i, ?i )?vi ( i=1, 2, ???, n), 并作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为空间物体?的质量M, 即 当然, 在三维空间定义的函数u=f(x, y, z)的“几何”意义是四维空间的“曲面”, 我们可以想象, 但无论如何也无法画出其“图形”, 因此我们不再讨论其几何意义. 下面我们给出三重积分的定义: 定义: 设f(x, y, z)是空间有界闭区域? 上的有界函数, 将闭区域? 任意分成n个小闭区域?v1, ?v2, ???, ?vn, 其中?vi 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每个?vi上任取一点(?i, ?i, ?i ), 作乘积 f(?i, ?i, ?i )?vi ( i=1, 2, ???, n), 并作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在闭区域 ? 上的三重积分, 并记为 即 其中dv 称为体积元素, 其它术语与二重积分相同. 同样有: 闭区域上的连续函数一定可积. 在直角坐标系中, 如果我们用三族(平行于坐标的)平面 x=常数, y=常数, z=常数, 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体. 其体积元素为: dv = dxdydz. 三重积分可写成: 由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质, 不再叙述. 二、三重积分在直角坐标系中的计算法 与二重积分类似, 三重积分可化成三次积行计算.具体可分为先单后重和先重后单两种类型. (x, y) z=z1(x, y) z=z2(x, y) ①先单后重: 设闭区域? 在xoy面的投影为闭区域Dxy . 在闭区域Dxy内任取一点(x, y), 作垂直于xoy面的直线穿过闭区域? . 穿入? 时的下边界曲面方程: z=z1(x, y) 穿出? 时的上边界曲面方程: z=z2(x, y) 先将x, y看作定值, f(x, y, z)看作z的函数, 则积分 为闭区域Dxy上的函数, 可以理解为压缩在平面薄片Dxy 上的密度函数. (x, y) z=z1(x, y) z=z2(x, y) y=y1(x) y=y2(x) a b 由三重积分的物理意义, 若将f(x, y, z)理解为闭区域?上的体密度函数, 那么三重积分 表示空间物体的质量M. 则函数F(x, y)可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数. 则质量M等于F(x, y)在平面薄片Dxy上二重积分: 即 下面只需将二重积分化成二次积分: 不妨设Dxy为X—区域: y1(x) ? y ? y1(x), a ? x ? b. 则 此方法也称为先一后二, 或切条法(先z次y后x, 或先z次x后y) 注意: 这是用平行于z轴(或垂直于xoy平面)且穿过闭区域? 内部的直线与闭区域? 的边界曲面相交不多于两点情形. 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分. 化三重积分为三次积分的步骤: ⑴投影: 得平面区域; ⑵穿越法定限: 穿入点—下限, 穿出点—上限. 对于二重积分化为累次积分的方法, 已经介绍过. o x y z Dxy 例1: 将三重积分 化成三次积分, 其中? 为长方体, 各边界面平行于坐标面. 解: 将? 投影到xoy面得Dxy , 它是一个矩形: c ? y ? d, a ? x ? b, 在Dxy内任取一点(x, y)作平行于z 轴的直线, 交边界曲面于两点, 其竖坐标为l 和m(l m). a b c d (x,y) m l 例2: 计算 平面x+y+z=1所围成的区域. Dxy x y z o 其中? 是三个坐标面与 解: 画出? 在xoy面上的投影区域 Dxy: 0 ? y ? 1–x, 0 ? x ? 1, 平行于z 轴直线穿过的下曲面为z=0, 上曲面为z=1–x–y, 有 0 ? z ? 1–x–y