医学高等数学教学大纲.docVIP

第六章 常微积分方程 [目的要求] 微分方程是建立变量及其导数或微分之间的关系式，再通过解微分方程，就可得到所要求的变量间的关系。因此它成为生产实践、科学研究的重要工具。特别是在生理学、生物化学、免疫学、药理学、流行病学和肿瘤学中有着重要的应用。微分方程有三项基本任务，一是列方程，二是解方程，三是研究方程解的性质，本课程主要讲第二项任务。因此要求： １.了解微分方程的阶、解、通解、特解和初始条件等概念。 ２.掌握可分离变量的方程及一阶线性方程的解法。 ３.会用降阶法解解几种特殊类型的二阶微分方程。 ４.知道二阶线性微分方程解的结构。 ５.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 6.了解微分方程在医学数学模型中的简单应用（细菌繁殖、肿瘤生长等）。 [知识要点与重点内容例题分析选讲] 知识要点与重点: 微分方程的解法 不同类型的标准微分方程有不同的解法，解微分方程首先识别要求解的微分方程属于哪类微分方程，针对那类微分方程必须采用相对应的解法.下面按微分方程解法重要程度介绍解法，可按介绍次序分别识别方程类型. （1）可分离变量微分方程：形如 的微分方程可分离一边含的变量，另一边含的变量，即 ， 然后积分，得到方程的通解： . 这里通解丢失了的解. （2）一阶线性微分方程：标准形式 为一阶线性齐次微分方程，它可用可分离变量微分方程的解法；也可以直接代入公式 求通解.标准形式 称为一阶线性非齐次微分方程，其通解可由下述公式 求得. （3）伯努利（Bernoulli）方程：标准形式为 的方程称之为伯努利方程.其解法，作变量代换，将原标准形式化成以为未知函数的一阶线性方程： ， 利用一阶线性一阶线性非齐次微分方程求出的通解.再将代回，求出伯努利是函数的通解. （4）当、为实数时， 称为二阶常系数齐次线性方程，其解法，先求特征方程 的根，即 . 当实根时，通解为 ； 当实根时，通解为 ； 当有共轭复根时，通解为 . 典型例题: 1.静脉输入葡萄糖是一种重要的治疗手段。设以每分钟k克的固定速率输入到血液中，与此同时，血液中的葡萄糖还会转化为其它物质或转移到其它地方，其速率与血液中的葡萄糖含量成正比，比例常数为a（a0），初始血液中的葡萄糖含量为M，试求血液中葡萄糖含量的变化规律和确定达到平衡时，血液中的葡萄糖的含量。 解：设输入葡萄糖t分钟时，血液中葡萄糖含量为Q(t),依题意有，解得将Q(0)=M代入上式得c=M-，所以，显然随着时间的推移，有从而使血液中葡萄糖含量达到平衡 ，所以平衡值为k/a 2．细菌繁殖的速率正比于当时存在的细菌数目。如果2小时后细菌的数目为原有的2倍，问多少时间后细菌数将为原有的3倍？ 解：设t小时细菌数为N(t),依题意可建立微分方程，其中k为比例系数，解之N=cekt，不妨假设细菌原有数目为N0,即N(0)=N0,则c=N0,从而有N=N0ekt，又由已知条件有，当细菌数为原有的3倍时，有，解得t=2=3.17(小时) 3. 已知32P的瞬时放射速率与当时所具有的质量成正比。原有质量为m0，半衰期为14.3天, 试求32P的放射规律？ 解：设第t天p32的剩余量为M(t),依据题意得，解得 M=ce-kt， 又因 M(0)=m0 所以有 c=m0， 又因 M(14.3)=m0 所以有 m0=m0e-14.3k， 解得 4.过氧化氢在加热或有触媒作用时，分解 假定反应的速度与反应物的浓度成正比。反应开始经10分钟后h2o2的浓度为0.276摩尔/米3，经20分钟后为0.165摩尔/米3, 试计算比例常数k(反应速度常数)？ 解：设t分时H2O2的浓度为A(t)摩尔，依题意有，解之得A(t)=ce-kt， 又因 A(10)=0.276, A(20)=0.165， 代入上式有， ， 解得