【概率论习题答案】第3章-随机变量的数字特征.docVIP

第3章 随机变量的数字特征习题解答 PAGE PAGE 36 随机变量的数字特征 1，在下列句子中随机地取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X的分布律并求. “They found Peking greatly changed” 解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为 4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5 . 2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求。 解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为 4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29 . 3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。 解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为 ， ， 。 所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为 。 4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。 解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 得分的数学期望为 。 5，（1）已知，，求。 （2）设随机变量的分布律为 ， 问的数学期望是否存在？ 解：（1）根据，可得，因此计算得到，即。所以=6。 （2）根据题意，按照数学期望的公式可得 ， 因此期望存在。（利用了）（不符书上答案） 6，（1）某城市一天水的消费量X（百万升计）是一个随机变量，其概率密度为，求一天的平均耗水量。 （2）设某动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为 求这种动物的平均寿命。 解：（1）一天的平均耗水量为 （百万升）。 （2）这种动物的平均寿命为 （年）。 7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为 ， 求X的数学期望。 解： =1/4。 8，设随机变量X具有概率密度如下，求。 。 解：。 9，设随机变量X具有概率密度如下，求。 解： 。 （对第一个积分进行变量代换） 10，设，求数学期望. 解： 。（不符书上答案） 11，设球的直径R服从区间上的均匀分布，求球体积的数学期望。 解：R的概率密度函数为，所以 。 12，设随机变量X的概率密度为，另有X的函数，求数学期望。 解： （不符书上答案） 13，设随机变量相互独立，且都服从区间上的均匀分布，记，，求。 解：因为的分布函数为，所以可以求出的分布函数为 ， 。 的密度函数为 ，。 所以的数学期望为 ， 。 14，设随机变量(X,Y)具有分布律 YX Y 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/28 0 0 求，。 解：求出边缘分布律如下 YX Y 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 15/28 1 3/14 3/14 0 12/28 2 1/28 0 0 1/28 10/28 15/28 3/28 1 ， ， ， ， 。 15，在上题中，求。 解：， 。 16，设随机变量具有概率密度 求。 解：， ， 。 17，某工程队完成某种工程的天数X是随机变量，具有分布律 10 11 12 13 14 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 所得利润（以元计）为，求。 解：根据题意，可得利润的分布律为 2000 1000 0 -1000 -2000 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 因此， （元） 。 18，设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为 其中为常数，求。 解：， ， ，。 （本题积分利用了，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到） 19，设随机变量X服从几何分布，其分布律为 ， 其中是常数。求。 解：， ， 所以，。 本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设，则，所以。类似的，设，则经过两次积分以后可得到，在经过两次求导得到。