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第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 （第73-74 页） 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） SKIPIF 1 0 ； （2） SKIPIF 1 0 ． 证明 （1） SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ，对其定义域上任一点 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 ， 故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 连续，由 SKIPIF 1 0 的任意性知， SKIPIF 1 0 在其定义域内连续． （2） SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ． 对其定义域上任一点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，从而 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 连续，由 SKIPIF 1 0 的任意性知， SKIPIF 1 0 在其定义域内连续． 2．指出下列函数的间断点并说明其类型： （1） SKIPIF 1 0 ； （2） SKIPIF 1 0 ； （3） SKIPIF 1 0 ； （4） SKIPIF 1 0 ； （5） SKIPIF 1 0 ； （6） SKIPIF 1 0 ； （7） SKIPIF 1 0 解 （1） SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处间断，因为 SKIPIF 1 0 不存在，所以 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的第二类间断点． （2） SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 间断，因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， 故 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的跳跃间断点． （3） 因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 间断． 由于 SKIPIF 1 0 ，从而 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的可去间断点． （4） 因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 间断． 由于 SKIPIF 1 0 ，从而 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的可去间断点． （5）因为 SKIPIF 1 0 ， 所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 间断． 由于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， 故 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的跳跃间断点． （6） SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 间断． 当 SKIPIF 1 0 时，极限 SKIPIF 1 0 不存在，故 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的第二类间断点． （7） 因为 SKIPIF 1 0 ，不存在，故 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的第二类间断点． 又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， 故 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的跳跃间断点． 3．延拓下列函数，使其在 R 上连续： （1） SKIPIF 1 0 ； （2） SKIPIF 1 0 ； （3） SKIPIF 1 0 ． 解 （1） 因为 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 无定义，且 SKIPIF 1 0 ，于是，延拓 SKIPIF 1 0 为函数 SKIPIF 1 0