常微分方程测试试卷.doc

第四章测验考试卷2 填空： 1．——————称为n阶齐线性微分方程。 2．非零为二阶齐线性方程的解，这里 和于区间上连续，则是方程解的冲要条件是―——————。 ３．常系数非齐线性方程中，若， 其中与为实常数，那么方程有形如————的特解。 ４．在n阶常系数齐线性方程中，为常数，则它的特征方程为——————。 ５．若方程中满足————条件，则方程有形如的特解。 ６．微分方程的阶数为——。 ７．设是二阶齐线性方程的一个解,则方程的通解可表为________ ８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________. １０.若为齐线性方程的一个基本解组,为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___. 计算 求通解 求特解， 设二阶非齐线性方程的三个特解为　求其通解 求解方程　 求方程的通解 求方程的解、 三．设可导函数满足，求 四．证明题 1.若函数为n阶齐线性方程的n个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式 2．试证n阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。 　　　　答案填空 １．，其中在区间上连续 ２． ３． ４． ５．和都能展成x的幂级数，且收敛区间为 ６．３ ７． ８．常数变易法，比较系数法，拉普拉斯变换法，幂级数解法。 ９、 其中为任意常数 １０、 其中为任意常数 计算 １．解：方程不显含x 代入方程得； 解得 故方程的通解为 ２．解：特征方程 特征根 对应齐线性方程的通解为 设原方程的特解为　 原方程的一个特解为 故原方程的通解为 由 由 所以原方程的特解为 ３．解：由解的结构知非齐两解之差为相应齐方程的解 　　　　　故　　 是齐方程的两解　且线性无关 则齐通解为 非齐 ４．解：由观察可得一特解为 又因为，故方程可变为 为二阶齐线性方程，为 则由刘维尔公式得 ５．解：令 原方程化为 所对应的齐方程为 其特征方程为 特征方程的根为 所以齐次方程的通解为 设特解为 代入原方程得，即 所给欧拉方程的通解为 ６解：设方程的解为 　　　　则 三、解：由题意可得： 两边对x求导得 即 为一阶线性方程 即 四、证明 证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数 使得 （1） 依次对t微分此恒等式，得到 （2） 把（1）和（2）看成关于的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是，于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即 证毕。 2 .证明:设为对应的齐线性方程的一个基本解组,是非齐的一个解,则均为非齐的解,同时也是线性无关的. 事实上,假设存在常数 否则:若,则有: (2) (2)的左端为非齐线性方程的解,而右端为齐线性方程的解,所以矛盾. 从而有,又是齐线性方程的基本解组,故有,进而有.即(1)是线性无关的. 再证明最多存在n+1个线性无关解. 事实上:若是t的任一解,则由通解结构定理,存在常数使得= 即= 其中为常数 故得证.