向量组的线性相关性线性方程组的解的结构线性方程组的求解.ppt

* * * * 线性方程组及其解法 向量组的线性相关性 线性方程组的解的结构 线性方程组的求解 第七章 ●向量与线性方程组 引例 一个方程对应一组数 矩阵的一行对应一组数 线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。 ●向量的定义 由n个数 组成的有序数组 称为一个 n 维行向量，记作 ，其中 称为向量 的第i个分量（或坐标）。 如果将有序数组写成一列的形式，则称向量 为列向量。 实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。 ●几个概念 1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。 2、相等向量：如果向量 与 是同维向量，而且对应 的分量相等，则称向量 与 相等。 3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。 4、负向量：称向量 为向量 的负向量，记作 。 5、向量组：如果n个向量 是同维向量，则称为 向量组 ●向量的线性运算 1、向量的加减法 ，称向量 设 ，则称向量 为向量 与向量 的和向 量，记作 为向量 与向量 的差向量，记作 。 2、数乘向量 向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。 设向量 则称向量 为数 与向量 的数称向量，记作 ●向量线性运算的运算律 交换律 结合律 分配律 ●例1 解 练习：已知 ，求 解 ● 向量的线性关系 解 设 则 所以 线性组合的概念：设有同维向量 ，如果存在 一组数 ，使得 成立， 则称向量 可由向量组 线性表示，或称向量 是向量组 的线性组合。 例2 设 判断向量 能否由向量组 线性表示？如果可以，求出 表达式。 小结： 可由向量组 线性表示 线性方程组 有解 ●线性相关、线性无关的概念 ●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。 因为 设有向量组 ，如果存在一组不全为零的数 ，使得 成立，则称 向量组 线性相关，否则，称向量组 线性无关。即当且仅当 全为零时， 才成立，则称向量组 线性无关。 证明 例3 证明下列向量组线性无关。 设 则 所以 所以向量组 线性无关。 称向量组 为n维向量空间的单位坐标向量组。 任何一个n维向量 都可由向量组 线性表示， 例4 讨论向量组 的线性相关性 解 设 则 利用矩阵的初等变换，可求得 注：有无穷多组解 可见，向量组 线性相关 齐次线性方程组 有非零解 练习 判断向量组的线性相关性 解 设 则有 因为 是方程组的一组非零解 所以 线性相关 证明 例5 已知向量组