向量组极大线性无关组概念向量组的等价向量组的秩第三.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 一、向量组极大线性无关组概念 二、向量组的等价 三、向量组的秩 四、小结与思考 向量组关系的重要指标 * 一、向量组极大线性无关组概念 解　 引例　判定向量组 及其部分组的线性相关性． * 线性无关 线性相关 线性相关 线性相关 线性相关 * 注解　 对于一个线性相关向量组来说,它的部分组可能线性相关也可能线性无关，而线性无关的部分组中向量个数有一个、两个…不等，其中所含向量个数最多的线性无关部分组也不唯一． * 定义 3.4 设A是一个n维向量组, 的一个部分组,满足条件: 为A 添加A中任一向量后所得 线性无关; 的向量组线性相关. 则称 为向量组A的一个极大线 性无关组，简称极大无关组． * ? 全部由零向量组成的向量组，没有极大无关组. ? 如果一个向量组线性无关，那么它的极大无 关组是它本身。 ?含非零向量的向量组必有极大无关组；一般极大无关组不唯一. * 二、向量组的等价 定义 3.5　 　如果向量组A与向量组B可以互相线性表示， 则称向量组A与向量组B等价，记为 设有两个向量组 的向量线性表示，则称向量组A可由向量组 如果向量组A的每个向量都可由向量组B中 B线性表示． * ?例 证明 依题意可知，向量组B可由向量组A线性 表示． * 又由 * 向量组A可由向量组B线性表示．故 解得 * 向量组等价有如下性质： (1)反身性： (2)对称性： 若 则 (3)传递性： 则 若 * 定理3.6 向量组和它的任意一个极大无关组等价． 向量组与极大无关组的关系 推论　 向量组中任意两个极大无关组等价． * 定理 3.7 如果向量组 可由向量组 线性表示，且ts，则向 量组 线性相关． 证明从略 * 设 则 线性相关． 证　由　　 得 于是 表明：向量组 线性相关． ?例 * 推论1 如果向量组 可由向量组 线性表示，且 线性无关，则 * 推论2 推论3 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。 推论4 向量组的任意两个极大无关组所含向量的个 数相同。 任意m(mn)个n维向量必线性相关． * 三、向量组的秩 ? 完全由零向量组成的向量组,它的秩为 ? 定义 3.6 向量组　　　　　　的极大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩。记为 特别地 0。 * 线性无关 ? 向量组 ，总有 ? 任意向量组 * 定理 3.8 等价的向量组有相同的秩。 该逆命题不成立。 但 不等价。 * 已知 线性相关，试证 也线性相关。 证明　令 解方程组得 ?例　 * 两向量组等价 ,由定理3.8知,两向量组秩相等． 而 线性相关,得 故 即向量组 也线性相关. 上式说明 　 * ?例 的行秩和列秩 求 解 A的行向量组： 由于 线性无关 为极大无关组 * １．最大线性无关向量组的概念： 　　最大性、线性无关性． ２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 　　矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 　　　　　　＝矩阵行向量组的秩 ３． 关于向量组秩的一些结论： 　　一个定理、三个推论． ４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 　　将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 　　阵，然后进行初等行变换． 四、小结与思考 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *