向量代数四川大学课程中心.ppt

* 证明 （1）由定义4.1立即得到。 （2）当 或 时，显然成立。因此， 设 不共线， ≠0。 当 时， 同向，所以， 从而 同向，故有 * 定义4.2 设 所在直线为 。由 分别 向 引垂线（图1.19）,其垂足分别为 ，则向量 称为 在 上的射影。如果 那么实 数x称为 在方向 上的分量，记为 。 A B 图1.19 * 从图1.19和图1.20容易得出 另外对任意实数 还有 (4.4)由(4.2)容易推得。 图1.20 * 由向量的内积的定义和(4.2)得，当 时， 有 ? 以向量 的起点在平面上的投影作为起点，以 的终 点在平面上的投影为终点的向量 称为向量 在此平面 上的投影。显然，相等的向量 有相等的投影；向量和的投影 等于向量投影的和（图1.21）。 图1.21 * 设有两个向量 和 ，用 表示向量 在与向量 垂直的平面上的投影（图1.22），这时有 其证明是容易的，留作习题。 图1.22 * （3）的证明 先证左分配律。如果 则结论是明 显的。其次只须证明当 为单位向量时（3）成立即可， 因为在一般情形下，将由性质（2）得出。因而设 为 单位向量。我们用 和 表示向量 和 在与向量 垂 直的平面上的投影（图1.23）。这时向量 和 可以相应地由向量 绕 右转 而得到。因此 而由于 因此 右分配律由性质（1） 和左分配律立即得到。 图1.23 * 例1 设刚体以匀角速度 绕 轴旋转,求刚体 上任一点 的线速度 . 解 刚体绕 轴旋转时,可以用 轴上的一个向量 表示角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由 右手法则决定:右手握住 轴,当右手的四个手指的指 向与刚体的旋转方向一致时,大拇指的指向就是 的 方向.(如图) * 设点 到旋转轴 的距离为 ,在 轴上任取一 点 ,作向量 , 表示 与 夹角,则 . 由物理学知道线速度 的大小为 , 的方向垂直于通过点 与 轴的平面, 且 的指向使 符合右手规则,因此有 . * e r * A P O * * 2.用坐标计算向量的外积 空间中取一个仿射标架 ,设， 则 由此可见，只要知道坐标向量之间的外积， 就可求出 。 * 如果 是右手直角标架，那么有 于是 作为一种记忆方式，(4.7)可以写成 此行列式按第一行展开。 * 例2 已知BC是梯形ABCD的一腰（图1.24），E是BC 的中点。证明 的面积是梯形面积的一半。 证明 设