数列上下极限的不同定义方式和相关性质..docVIP

word格式文档 专业整理 目 录 数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘要……………………………………………………….…...01 一、数列的上极限、下极限的定义………………………………….01 1. 用“数列的聚点”来定义…………………………………...01 2. 用“数列的确界”来定义…………………………………...02 3. 数列上、下极限定义的等价性…………………………….....02 二、数列的上、下极限的性质及定理………………………………. 04 参考文献………………………………………………………. 14 英文摘要………………………………………………………..15 数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数 一、数列的上极限、下极限的定义 关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义 定义 1 若在数a的任一邻域内都含有数列的无限多项，则称为数列的一个聚点. 例1 数列有聚点与； 数列有和五个聚点； 数列只有一个聚点； 常数列只有一个聚点. 定义 2 有界数列的最大聚点与最小聚点分别称为数列的上极限和下极限，记作 ;. 例2 2. 用“数列的确界”来定义 定义3 任给数列，定义 ; （1） 分别称为数列的上极限和下极限. 若定义1中的可允许是非正常点或，则：任一点列至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限. 例3 3. 数列上、下极限定义的等价性 下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即 ； . 证明：如果，由于关于单调递减，所以，.于是，可取（自然数）,又可取 所以，得到数列的子列.这就证明了为数列的聚点，且为最大聚点.由此可得 ; 如果，则或实数. 设数列的任一聚点，则必有的子列，. , 所以，数列的最大聚点满足 . 另一方面， 易见，中最多含有数列中的有限多项.因此，当时，有，从而，当时，有 由此可得 . 令，推出 . 综合上述，有 . 类似的可证明或应用上式于可证得 . 如果，由于关于单调递减，所以，对.于是，可取自然数使得,又可取自然数 使得……所以，得到数列的子列{}.这就证明了为数列的聚点，且为最小聚点.由此可得 ; 如果，则或实数. 设数列的任一聚点，则必有的子列，.任意的n是自然数 所以，数列的最小聚点满足 . 另一方面，对任意的y易见，（-中最多含有数列中的有限多项.因此，存在N是自然数当时，有，从而，当时，有 ， 由此可得 . 令y[]，推出 . 综合上述，有 . 下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理. 二、数列的上、下极限的性质及定理 设有数列与数列，则数列的上、下极限有以下性质 性质 1 ； （2） 性质 2 例4 用上下极限理论证明：若是有界发散数列，则存在的两个子列收敛于两个不同的极限. 证明：因为数列发散的充要条件是，于是存在的两个子列，使，，即存在的两个子列收敛于不同的极限. 性质 3 （保不等式性质）设有界数列，满足： 存在,当时有，则 ; ; 特别，若为常数，又存在，当时有，则 性质 4 设，则 （3） （4） 例5 证明：若收敛，则对任意，有 证明：分三种情况讨论 若，则中有无穷多项大于零，作新序列 则，且，对应用（4）有 因收敛， 所以 ， 故上式表明 但 所以 若，在限制条件下，，因此充分大时有，这时等式明显成立. 若，可取充分大的正常数,使得， 如此应用1、的结果， 再根据（3），此即 从而 ，证毕. 性质 5 在不发生情况下，有如下不等式成立： 1、 2、 3、 事实上，这里的等号可以不发生，如对 ； ， 这时 例6 证明：若收敛，则