【中职数学教案】632等比数列的前n项和教学设计.doc

第四章　指数函数与对数函数 PAGE 2 PAGE 2 6.3.2 等比数列的 【教学目标】 1. 理解并掌握等比数列前n 项和公式，并会应用公式解决简单的问题． 2. 逐步熟练等比数列通项公式与前n 项和公式的综合应用，培养学生的运算能力． 3. 通过公式的探索、发现，培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力，渗透类比与转化的思想． 【教学重点】 等比数列前n 项和公式的应用． 【教学难点】 等比数列前n项和公式的推导和灵活运用． 【教学方法】 本节课在公式推导中宜采用类比教学法和自主探究教学法．师生共同参与整个教学活动，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师在引导的同时，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 印度一国王与国际象棋发明家的故事：发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒？ 教师讲故事，并提出问题． 学生分组合作探究．学生用计算器依次算出各项的值，然后再求和． 教师对他们的这种思路给予肯定． 利用学生好奇心理，让学生去经历知识的形成与发展过程，便于调动学生学习本节课的积极性． 新 课 新 课 新 课 1．求数列1，2，4，…，262，263的各项和 数列1，2，4，…，262，263是以1为首项，2为公比的等比数列，前面的问题应归结为求这个数列前64项的和，可表示为 S64 = 1+2+4+8+…+262 +263． ① 2S64 = 2+4+8+…+263 +264． ② ①－②，得到 S64 －2S64 = 1－2 64． 即 (1－2)S64 = 1－2 64． S64 = eq \f(1－2 64,1－2) ． 2．等比数列的前n 项和公式． 当q≠1时，Sn = eq \f(a1(1－ q n),1－q ) ； 当q =1时，Sn = n a1． 等比数列的前n项和公式，包含四个变量，只要知道其中任意三个，就可求出第四个． 例1 求等比数列 eq \f(1,2)， eq \f(1,4)， eq \f(1,8)，…的前8项的和． 解 因为a 1= eq \f(1,2)，q= eq \f( eq \f(1,4) , eq \f(1,2) ) = eq \f(1,2)，n=8， 所以S8 = EQ \F( eq \f(1,2)[1－( eq \f(1,2) )8],1－ eq \f(1,2)) = eq \f(255,256)． 练习 根据下列各组条件，求相应的等比数列{an }的Sn： （1）a1＝3，q＝2，n＝6； （2）a1＝8，q＝ eq \f(1,2) ，n＝5． 例2 等比数列{an}的公比 q=－ eq \f(1,3)，前4项的和 eq \f(5,9)，求这个等比数列的首项． 解 根据等比数列前n项和公式及已知条件可得 EQ \F(5,9)＝ EQ \F(a1[1－(－ EQ \F(1,3))4],1－(－ EQ \F(1,3)))， 解得a1= EQ \F(3,4)． 即首项为 EQ \F(3,4)． 师：数列1，2，4，…，262，263是个什么数列？有何特征？前面的问题应归结为什么数学问题呢？ 学生思考回答． 师：让我们寻找一种更简单的解决这个问题的办法吧． 师：观察①式中的各项有何联系？ 学生会发现，后一项都是前一项的2倍． 师：如果我们把每一项都乘公比2，得到②式，请观察各项发生了什么变化？与①式有什么联系？ 学生发现，除最后一项外，每一项都变成了①的后一项． 教师继续引导学生比较、探究：①、②两式有许多相同的项，用什么办法可以把相同的项消掉？ 学生会想到把两式相减，消去相同的项． 教师板书推导过程，得出求和公式． 教师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程后反思：为什么①式两边要同乘2呢？ 教师顺势引导学生将结论一般化． 等比数列的前n 项和公式要分q≠1与q =1时两种情况讨论． 请学生说出公式中包含的变量：a 1，q ，n，Sn ． 学生独立思考，自主解题． 师生共同总结解法． 教师订正评价． 学生练习，教师巡视指导． 教师出示例2，引导学生分析题意，写出已知、所求，自主解答． 请学生在黑板上板演． 师生共同订正． 教学中，繁难的求解过程激起学生急于探求新方法的欲望，为后面的教学埋下伏笔． 留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和公式的推导关键是错位相减，培养学生的辩证思维能力． 让学生在化繁为简的过程中，充分感受到数学的简洁性． 培养学生分类讨论的意识． 在教