17-角平分线的性质.ppt

11.3.1角平分线的性质 ２.分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C； 如何用尺规作角的平分线？ A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 作法： １.以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交OA于Ｍ，交OB于Ｎ； ３.作射线OC,则射线OC即为所求（如图）． 已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 探究角平分线的性质 (1)实验：画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB的平 分线OP，过P画PD⊥OA，PE⊥OB 问题：①比较PD和PE 的大小关系（量一量）。 PD=PE ②再换一个新的位置看看情况会怎样？ (2)猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 P A O B C E D 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO=90°（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.求证: PD=PE. (3)验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言： ∵ OP平分∠AOB， PD ⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E ∴ PD=PE（角平分线的性质） P A O B C E D 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 几何语言也可以写为： ∵∠1=∠2 PD ⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E ∴PD=PE（角平分线的性质） 1 2 练习1、判断正误，并说明理由： ①如图1， ②如图2， ∵ 　P是∠AOB的平分线 ∵　PD⊥OA于D， OC上任意一点，　　　　　 PE⊥OB于E， 　　　　　　　　　　 ∴　PD＝PE． ∴　PD＝PE． 图1 图2 练习2、填空：如图，△ABC中，∠C＝ 90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，则点D到AB的距离为 cm． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 E 3 证明： ∵　AD平分∠CAB 　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知） ∴　CD＝DE (角平分线的性质) 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中, 　　 CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等） A C D E B F 例1.已知：如图，△ABC中 ∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。 证明： ∵　CD⊥AB，BE⊥AC，∠1＝∠2， ∴　OE=OD（角平分线的性质） ∵ CD⊥AB，BE⊥AC， ∴　∠CEO=∠BDO=90o 在△EOC和△DOB中， ∠BOD＝∠EOC OE=OD ∠CEO=∠BDO ∴△EOC≌△DOB（ASA） ∴ OC=OB 练习1.已知：如图，∠1＝∠2，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD交于点O． 求证：OC=OB． 2.在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC。　求证：∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B A E D F C 【变式】如图：P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm，求OA+BO的值。 D 3、如图，在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD, 点 P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF A P E F D C B