高三高考数学国步分项分类题及析答案一四.doc

高三高考数学国步分项分类题及析答案一四 3-3导数的实际应用 基础巩固强化 1.(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(　　) A.eq \r(3,V)　　　B.eq \r(3,2V)　 　C.eq \r(3,4V)　　　D．2eq \r(3,V) [答案]　C [解析]　设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V＝eq \f(\r(3),4)a2h，∴h＝eq \f(4V,\r(3)a2)，表面积S＝eq \f(\r(3),2)a2＋3ah＝eq \f(\r(3),2)a2＋eq \f(4\r(3)V,a)， 由S′＝eq \r(3)a－eq \f(4\r(3)V,a2)＝0，得a＝eq \r(3,4V)，故选C. (理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为(　　) A.eq \f(R,2)和eq \f(3,2)R　　　　　　 B.eq \f(\r(5),5)R和eq \f(4\r(5),5)R C.eq \f(4,5)R和eq \f(7,5)R D．以上都不对 [答案]　B [解析]　设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2eq \r(R2－x2)，则l＝2x＋4eq \r(R2－x2)　(0＜x＜R)， l′＝2－eq \f(4x,\r(R2－x2))，令l′＝0，解得x＝eq \f(\r(5),5)R. 当0＜x＜eq \f(\r(5),5)R时，l′＞0；当eq \f(\r(5),5)R＜x＜R时，l′＜0. 所以当x＝eq \f(\r(5),5)R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为eq \f(\r(5),5)R，eq \f(4\r(5),5)R. 2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 [答案]　C [解析]　∵y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234， ∴y′＝－x2＋81(x0)． 令y′＝0得x＝9，令y′0得x9，令y′0得0x9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C. [点评]　利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左右两边的导数的符号才能确定． 3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为(　　) A.eq \f(a,b)　　 　B.eq \f(a2,b)　　 　C.eq \f(b,a)　 　　D.eq \f(b2,a) [答案]　C [解析]　 如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h. 设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·eq \f(V,πR2)＝2πaR2＋eq \f(2bV,R)， ∴y′＝4πaR－eq \f(2bV,R2). 令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，eq \f(2R,h)＝eq \f(b,a). (理)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为(　　) A.eq \r(\f(S,3π)) B.eq \r(3πS) C.eq \f(\r(6πS),6π) D．3π·eq \r(6πS) [答案]　C [解析]　设圆柱底面半径为r，高为h， ∴S＝2πr2＋2πrh，∴h＝eq \f(S－2πr2,2πr)， 又V＝πr2h＝eq \f(rS－2πr3,2)，则V′＝eq \f(S－6πr2,2)，令V′＝0， 得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝eq \f(\r(6πS),6π). 4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，　　　x＞400.))则总利润最大时，每年生产的产品是(　　) A．100 B．150 C．200 D．300 [答案]　D [解析]　由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x＞400，)) P′＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x＞400.)) 令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大． 5．(文)内接于半径为