第二类曲面积分的计算方法.docVIP

研究生入学考试重点考点 ____________________________________________________________________________________________ 第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 25 页 第二类曲面积分的计算方法 赵海林 张纬纬 摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes公式 向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为）的速度为 , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量. 若为平面上面积为的区域，而流速是常向量，指定侧的单位法向量 则 若为曲面，流速不是常向量，则用下面的方法计算流量. (1) 分割 将任意分成小块同时代表其面积. (2) 近似 ，以点处的流速和单位法向量分别代替上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 2.1.2 定义 . 若存在， 或者 . 2．2 第二型曲面积分的性质 性质1 (方向性) 设向量值函数在定向的光滑曲面上的第二型曲面积分存在.记为与取相反侧的曲面，则在上的第二型曲面积分也存在，且成立.注意这个等式两边的是方向相反的. 性质2 （线性性） 若 存在，则有 =， 其中是常数. 性质3 (曲面可加性) 若曲面是由两两无公共内点的曲面块所组成，且 存在，则有 2.3 第二型曲面积分的数量表达式 记，称为曲面 从而 . 即，是在面上的投影；是在面上的投影；在在面上的投影. 他们的取值可正、可负、也可为零.如当时，取符号. 特殊形式： 称为对坐标的曲面积分； 称为对坐标的曲面积分； 称为对坐标的曲面积分. 2.4 介绍两类曲面积分之间的联系 与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设为光滑曲面，并以上侧为正侧，为上的连续函数，曲面积分在的正侧进行.因而有 (1) 由曲面面积公式，其中是曲面的法线方向与轴正向的交角，它是定义在上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以是锐角 .又由是光滑的，所以在闭区域上连续.应用中值定理，在内必存在一点，使这点的法线方向与轴正向的夹角满足等式或. 于是. 个部分相加后得 (2) 现在以表示曲面在点的 法线方向与轴正向夹角的余弦，则由的连续性，可推得当时，式右端极限存在.因此由式得到 (3) 这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角改为.因而也改变符号，所以右边