菲波那契数列.docVIP

课题：斐波那契数列 桂林市第十七中学 王嵘 指导教师 桂林师专数学系 蒋晓云 教学目标 知识方面使学生理解斐波那契数列，掌握斐波那契数列通项公式的求法，能应用斐波那契数列解决日常生活中的一些问题。 能力方面培养学生的观察能力、探究发现的能力、解决实际问题的能力、审美意识。 品质素养方面使学生体会，数学来源于生活的大众数学思想；通过主动探究，培养学生的认知力、观察力、想象力、注意力、记忆力和独创的实践力。 重点难点重点：斐波那契数列、斐波那契数列的应用。难点：斐波那契数列通项公式的求法、将实际问题转化为数学问题。 教学手段多媒体辅助教学 教学过程 （一）提出问题 今天这节课我们来看一个有趣的问题，它最初是由一名意大利数学家在十三世纪初提出的：兔子出生两个月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔一对，试问第八个月共有多少对兔子（若生下的小兔都不死的话）？ （二）分析问题 １．先让学生自由讨论，教师再辅以课件分析： 第一个月：只有一对小兔 第二个月：小兔未长成不会生殖，仍然只有一对。 第三个月：这对兔子生了一对小兔，这时共有两对。 第四个月：老兔又生了一对小兔，而上月出生的小兔还未成熟，这时共三对。 第五个月：这时已有两对兔子有生殖（原来的老兔和第三个月出生的小兔）于是生了两对小兔，这时共五对兔子。 …… 如此推算下去，我们不难得出下面结果： 第八个月共21对兔子 2．如果我们把上表中下面一列数用表示，下标表示月份数，则有： 它给我们数列的形象，由于这个问题是由意大利数学家斐波那契提出的，故这个数列被称为斐波那契数列，称为斐波那契数，我们这节课就来研究这个有趣的数列问题（板书课题）。 3．还是回到生小兔问题，假如问一年后有多少对兔子？一年半后？两年后？显然继续用这种方法来推算，似乎有些“笨”，而且越往后越使人觉得复杂，有无简单的办法推算？提示学生观察数列的项的关系？ 4．学生讨论得出该数列中各项有如下递推关系： 鼓励学生的同时，提出：在当时，这个简单的递推关系却是在斐氏死后近四百年后由一名叫奇拉特的数学家发现的。其实这个式子并不难理解。试想：第个月时的兔子可分为两类：一类是第个月时的兔子，另一类是当月新出生的兔子，而这些兔子数恰好为第个月时的兔子数（它们到第个月时均可生殖）。 由于这一发现，生小兔问题引起人们的极大兴趣，最重要的是计算这列数给我们带来一定的方便。我们可以轻而易举地计算一年后，一年半后……的兔子对数。 5．但是不是有了递推关系，就能满足我们的需要了呢？若要计算两年，三年以后的兔子数，我们不得不要了解它前面两项的兔子对数。而要用递推关系，又出现了繁琐，这时我们迫切地想知道：若已知月份数，能够马上计算出兔子对数吗？这又引起了另一个问题——斐波那契数列的通项是什么？ 6．由学生先探讨，教师再分析： 这并不是我们熟悉的等差或等比数列，但能否采用化归的思想，将其转化为我们熟悉的数列来解决呢？ 设 (p≠0,n≥3) ① 则{是以p为公比,首项为的等比数列. 有 ② 又由①有 有 代入②得 ③×④× 得 教师继续指出：在当时，由十三世纪初裴氏提出问题开始，到十八世纪初，棣莫佛在其所著的《分析集锦》中才第一次给出以上通项表达式，从此人们对裴氏数列的研究活动蓬勃发展，很多数学家，如法国数学家拉姆，鲁卡斯等都利用这一通项表达式得出裴氏数列的很多重要性质。美国还在1963年创刊了《裴波那契季刊》专门研究该数列。虽然由于我们现有数学知识的限制无法深刻体会它的重要性质，但至少我们可以感受到的是这是继其递推关系后又一耐人寻味的等式：等式左边是正整数，而式子右边是由无理数来表达的。有了它，我们就可以计算出前面的生小兔问题。 （三）斐氏数列的应用 斐波那契数列不只是在生小兔问题中才会遇到，它也能出现在自然界、生活中…… 1．树枝生长问题： 波兰数学函史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中有这样一个问题：一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝便可每年长出一条新枝，如此下去，十年后树枝将有多少？ 由学生回答，教师指出：这个问题只是斐波那契数列问题的变化而已，即树枝的繁衍方式是按斐波那契数列增加的。 2．上楼方式问题： 上楼梯时，若允许每次跨一级或两级，那么对于楼梯数为、、、。。。时上楼的方式数各是多少？ 学生回答后，教师分析：楼梯数为时的上楼方式可分为两类：一类是首次跨一级时，此时方式数为，另一类是首次跨两级时，此时方式数有，所以 ３．蜜蜂进蜂房问题： 一次蜜蜂从蜂房A出发，想爬到、、……、n号蜂房，但只允许它自左向右（不许反方向倒走）。则它爬到各号蜂房的路线数各是多少？ 学生探