西安石油大学电子工程学院自动控制理论课件第四章 线性系统的根轨迹法.pptVIP

第四章 线性系统的根轨迹法(Root Locus) 4—1 根轨迹法的基本概念 4—2 根轨迹绘制的基本法则 4—3 广义根轨迹 4—4 系统性能的分析 4—1 根轨迹概念 一、根轨迹定义 指当开环系统某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根相应在s平面上变化的轨迹。 二、根轨迹增益K*与开环增益K （1）开环传递函数的两种标准形式： 尾1型： 首1型： 式中 为开环零点； 为开环极点； （2）K*与K的关系 三、根轨迹方程 即 （1）模值条件 （2）相角条件 4—2 绘制根轨迹的基本法则1(教材P151） 1 2 3 4 绘制根轨迹的基本法则2 特殊情况：无有限零点 确定分离点的第二种方法： 特征方程有重根时，f(s)与s轴的交点只有一个，那只能是f(s)～s的极值点。 而df(s)/ds =0与dK*/ds =0具有相同的方程，故而可用dK*/ds=0求解此分离点。 设单位反馈控制系统的开环传递函数为：  试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 解： 令 下面绘制当K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹图。 （1）根轨迹的起点就是开环传递函数的极点：0，－2，－5。 （2）依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为 （3）计算分离点： 令 得 （舍去） 所以，分离点为 。 （4）计算渐近线与实轴的交点： 渐近线与实轴的夹角： 所以，渐近线与实轴的夹角为 。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点： 闭环特征方程： 令 代入上式有： 整理得： 令实部、虚部分别等于零， 得方程组： 解该方程组得: 依上面的分析可绘出相应的根轨迹图。 根轨迹 例4-2（教材P150) 单位反馈系统开环传递函数为　　　　　　　　 绘制其根轨迹图。 4—3 广义根轨迹一、参量根轨迹 系统结构参数除了开环增益,还有其他参数,其他参数变化引起闭环极点改变的情况即可用参量根轨迹来分析。 具体做法: 为了继续使用前述根轨迹绘制方法,必须改造开环传函或特征方程。1+G(s)H(s)=0等效变换为： 其中的A即等同于K* 。 二、零度根轨迹 根轨迹方程（标准形式） 即 右端的符号：为“-”时, 对应180°根轨迹； 为“+”时，对应0°根轨迹。 因此零度根轨迹相角满足 。 绘制零度根轨迹的基本法则 零度根轨迹绘制规则 1343 根轨迹示例 4—4 系统性能的分析 稳定性分析 根轨迹是由开环零、极点的分布绘制闭环极点随开环根轨迹增益变化的趋势图，故此，系统欲稳定，根轨迹图不能越过虚轴进入右半s平面。 根轨迹与虚轴交点处的K值为系统的临界稳定开环根轨迹增益。 稳态性能分析 动态性能分析 例4-19 已知系统开环传递函数 （1）画出系统的根轨迹； （2）计算使系统稳定的K值范围； （3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差。 解:（1）画根轨迹 a) 分离点由方程 得 解得s1=-6.65在根轨迹上,因此是汇合点。 s2=-1.35不在根轨迹上,舍去。 b)求分离角 。 c)求与虚轴交点 系统特征方程为 劳斯阵列为 当 时, 由辅助方程 可求出根轨迹与虚轴的交点为 。 （2）由劳斯阵列可知当 K3/4 时,系统稳定。 （3）开环系统含有三个积分环节,属Ⅲ型系统,该系统对于斜坡输入的稳态误差为零。 例4-23 已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统根轨迹；（2）确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的k值范围；（3）求产生持续等幅振荡时的k值和振荡频率；（4）求闭环主导复数极点具有阻尼比为0.5时的k值和闭环极点。 解：（1）画根轨迹图 a）该系统有三条根轨迹，开环极点