线性代数之行列式的性质及计算.docVIP

PAGE PAGE 13 第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑将它的行依次变为相应的列，得 称为的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（） 事实上，若记 则 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行()或两列()，行列式变号. 例如 推论 若行列式有两行（列）完全相同，则. 证明: 互换相同的两行, 则有, 所以. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数，等于数乘以此行列式，即 推论：(1) 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) 中某一行(列)所有元素为零，则； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 . 证: 由行列式定义 性质6 行列式的某一行（列）的各元素都乘以同一数加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变，即 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式 解: . . 此方法称为归边法. 例2: 计算n阶行列式 解: (1) (箭形行列式) (2) 注意到行列式各行元素之和等于,有 . 例3: 设 证明: 证: 对作行运算, 把化为下三角形行列式: 对作列运算, 把化为下三角形行列式: 先对的前k行作行运算, 然后对的后列作列运算, 把化为下三角形行列式: 故, . 思考练习 1.计算行列式 2.证明 3. 证明 4.计算行列式 答案 2.左边= . 3. 证 (1)左边 (2)左边右边 4. 解: 从第4行开始，后行减前行得， §2.2 行列式按行（列）展开 对于三阶行列式，容易验证： 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算. 问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？ 一、余子式与代数余子式 定义：在阶行列式中，划去元素所在的第行和第列，余下的元素按原来的顺序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作；而称为元素的代数余子式. 例如 三阶行列式 中元素的余子式为 元素的代数余子式为 四阶行列式中元素的代数余子式为 二、行列式按行（列）展开 定理 阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 证 （1）元素位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零; 此时 而,故; （2） 将中第行依次与前行对调，调换次后位于第一行; 将中第列依次与前列对调，调换次后位于第一列; 经次对调后，就位于第一行、第一列，即 . (3) 一般地 . 推论 n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即 证 考虑辅助行列式 该行列式中有两列对应元素相等.而，所以. 关于代数余子式的重要性质 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的. 三、行列式的计算 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式. 计算行列式常用方法：化零，展开. 例4: 计算四阶行列式. 解: . 例5 已知4阶行列式 解: (方法1) 直接计算 (方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算. . 例6: 计算阶行列式 解： . . 例7: 计算四阶行列式. 解: 按第1行展开，有 , 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得 . 例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde) , 其中表示所有可能的的乘积. 证: (用数学归纳法) 时,结论正确; 假设对n-1范得蒙行列式结论成立，以下考虑阶情形. . 例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式 解 ：对照范德蒙行列式，此处 所以有 . 第三环节：课堂练习 练习:已知4阶行列式 解: (方法1) 直接计算 (方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算. 它是中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有