《高数多元函数的偏导数与全微分》-公开·课件.pptVIP

第十三讲 多元函数偏导数与全微分 多元函数极限与连续性 偏导数与全微分 抽象符合函数的偏导数与全微分 高阶偏导数，求偏导次序无关性 一、多元函数的概念 二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性 四、小结 2、偏导数的定义及其计算法 4、高阶偏导数 三、小结 3、复合函数链式法则 三、小结 问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 解 偏导数的定义 偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数 （偏增量比的极限） 纯偏导 混合偏导 （相等的条件） 思考题 思考题解答 不能. 例如, * （1）邻域 （2）区域 例如， 即为开集． （5）二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数． 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 （6） 二元函数 的图形 （如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面. 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例2 求证 证 当 时， 原结论成立． 例3 求极限 解 其中 例4 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 确定极限不存在的方法： 定义3 例5 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 例７ 解 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 （注意趋近方式的任意性） 多元函数的定义 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 习惯上，记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 解 证 原结论成立． 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 ３、偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解 解 *