(08063063)(林豪)(Monte-Carlo方法在定积分中的应用).docVIP

SKIPIF 1 0 数学与统计学院 课程设计报告 课程： 数值分析 题目： Monte-Carlo方法在数值积分中的应用 年级： 2008 专业： 数学与应用数学 学号： 姓名： 林豪 指导教师： 宁娣 2010年 12月 12日 数学与统计学院本科课程设计 Monte-Carlo方法在数值积分中的应用 【摘 要】本文分析了Monte-Carlo方法在数值积分计算中的优缺点，发现该方法的误差阶仅为 SKIPIF 1 0 ，为了改善误差精度，提出了改进的Monte-Carlo方法——“类矩形”法和“类梯形”法，其误差阶分别为 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，并给出了两种方法的一般计算步骤，最后通过实例验证了其误差精度的确如上所述。 【关键词】数值积分；Monte-Carlo；类矩形法；类梯形法；误差阶 一、Monte-Carlo方法简介 Monte-Carlo方法又称随机模拟方法或统计试验方法，它是一类通过随机变量的统计试验，随机模拟求解数学物理，工程技术问题近似解的数值方法。随着科学及计算机技术的发展，该方法已在求解数值积分，积分方程，微分方程，非线性方程组问题，计算物理，大型系统可靠性分析等方面得到了广泛的应用。最常见的计算定积分的Monte-Carlo方法是平均值法，该方法计算简单，适用范围广，但在某些要求精度非常高的场合不能取得理想的效果。 为了提高精度，本文结合矩形求积公式和梯形求积公式，给出了Monte-Carlo计算积分的一类改进算法。 二、Monte-Carlo的原始平均值法 1、Monte-Carlo法的计算步骤 已知 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上可积，试用平均值法计算定积分 SKIPIF 1 0 。 基于上述Monte-Carlo的思想步骤如下： 随机产生 SKIPIF 1 0 个服从 SKIPIF 1 0 上均匀分布的独立随机变量 SKIPIF 1 0 ； 计算 SKIPIF 1 0 ，并将其作为 SKIPIF 1 0 的近似值，即 SKIPIF 1 0 。 2、误差分析 由中心极限定理知，若 SKIPIF 1 0 相互独立、同分布且数学期望及标准差 SKIPIF 1 0 存在，则当 SKIPIF 1 0 充分大时，随机变量 SKIPIF 1 0 服从正太分布 SKIPIF 1 0 ，即对任意的 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 这表明，用平均值法计算定积分的收敛速度较慢，在概率意义下的误差仅为 SKIPIF 1 0 ，为了提高精度，下面对平均值法做如下两种改进。 三、平均值法的改进 1、“类矩形”的Monte-Carlo方法简介 先将区间 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 等分，再在每个区间上各产生一个随机点，然后由着 SKIPIF 1 0 个随机点类似于矩形公式构造计算公式，次称为“类矩形”的Monte-Carlo方法，如此处理计算量几乎没有变化，但误差阶却提高到 SKIPIF 1 0 。 2、“类矩形”的计算步骤 为方便见，仍以计算 SKIPIF 1 0 为例，其计算步骤如下： 随机产生 SKIPIF 1 0 个相互独立且服从 SKIPIF 1 0 上均匀分布的随机变量序列 SKIPIF 1 0 ； 作变换 SKIPIF 1 0 将 SKIPIF 1 0 映射到子区间 SKIPIF 1 0 计算 SKIPIF 1 0 并将其作为 SKIPIF 1 0 的近似值。 四、平均值法的进一步改进 1、“类矩形”的改进——“类梯形”法 如上，通过将区间等分，在每个子区间上任取一个随机点，类似于矩形公式计算，得到了改进的“类矩形’法。 进