平面几何的定值与最值问题.doc

第二十三讲 平面几何的定值与最值问题 【趣题引路】 传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.每天他都要从家所在的点出发,到集市点,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点,而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图. 这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,然后再到集市的路程最短呢? () () 解析 在圆周上选一点,过作⊙的切线,使得∠∠,即αβ.那么朝圣者沿→→的路线去走,距离最短. 证明 如图,在圆周上除点外再任选一点′. 连结′与切线交于. ∵′′. ∴′′′′. 不过,用尺规作图法求点的位置至今没有解决.“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”. 【知识延伸】 平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.所谓几何定值问题就是要求出这个定值. 在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变. 例 如果△的外接圆半径一定,求证: 是定值.(表示△的面积) 解析 由三角形面积和正弦定理, ∴. ∴是定值. 点评 通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是,即为定值. 平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式). 如图,已知⊙的半径为⊙上一点,过作一半径为的⊙′,问′何时最长?最长值是多少′何时最短?最短值是多少? 解析 当′落在的连线段上(即⊙与线段的交点时)′最短,且最短长度为 ; 当′落在的延长线上(即⊙与的延长线交点时)′最长,且最长的长度为 . 点评 ⊙′是一个动圆,满足条件的⊙′有无数个,但由于⊙′过点,所以⊙′的圆心′在以为圆心半径为的⊙上. 【好题妙解】 佳题新题品味 例 如图,已知为定角的角平分线上的定点,过、两点任作一圆与角的两边分别交于、两点. 求证是定值. 证明 连结、,由于它们为有相同圆周角的弦,不妨记为.另记. 对△应用余弦定理, 得·∠·. 故为方程·∠·()的根,同理亦为其根. 因此为此方程的两根,由韦达定理,得(∠)是定值. 点评 当时为此定值,事实上此时一定是直径. 如图,在矩形中,⊙与外切,且⊙与、相切.⊙′与、相切,设⊙的半径为,⊙与⊙′的面积的和为,求的最大值和最小值. 解析 设⊙′的半径为,过与′分别作与的垂线′,垂足分别为、′交于点,则有′()() 由勾股定理可得: ()[()][()]. 整理,得()(), 由题意知≤≤,∴,∴(), [()], 故当时; 当时. 点评 先由已知求出⊙′的半径也⊙的半径之间的关系,然后再根据面积公式写出与之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解. 中考真题欣赏 例 (南京市中考题)如图,⊙与⊙内切于点,又⊙切⊙的直径于点,连结并延长交⊙于点,设⊙,⊙的半径分别为、,且≥.求证·是定值. 解析 若放大⊙,使⊙切⊙的直径于点(如图), 显然此时有···(定值). 再证明如图的情况:连结, 则必过点,且⊥, 得, 从而. 所以··,故·是定值. 点评 解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明. 竞赛样题展示 例 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形的边长为,点为边上任意一点(可与点或点重合),分别过点、、作射线的垂线,垂足分别为点′、′、′. 求′′′的最大值和最小值. 解析 ∵△ △ ·′, 得四边形 △ △ △ (′′′), 于是′′′. 又≤≤, 故≤′′′≤, ∴′′′的最小值为,最大值为. 点评 本题涉及垂线可考虑用面积法来求. 例 (年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△内接于⊙是或其延长线上一点是△外接圆的一条弦,若∠∠. 求证为定值. 证明 如图 (),当点是上任意一点且∠∠时,连结, 则∠∠,∠