动感几何之从特殊到一般(刊出稿).docVIP

上联：读三国参魏蜀吴 下联：阅九章品勾股弦 横批：人生几何 作者：黄金声 第 PAGE 7 页 共 NUMPAGES 7 页 黄金声（江西省数学特级教师）手机动感几何之从特殊到一般 江西省临川二中 黄金声（344100） 从特殊到一般（当然也包括从一般到特殊）是一种重要的数学思维方式，在更加注重课堂效度、注重师生可持续发展能力培养的新课程理念的指引下，正广泛运用于各种数学活动中.认识它、掌握它、驾驭它，已成为越来越多的学生、教师及教研人员的迫切需求.笔者试图从基本的几何图形入手，解读这一数学思维方式在问题探究中的运用，以求抛砖引玉. （特别说明：“动感几何”一词是笔者在江西省2001年中考复习研讨会上提出来的，其内涵主要是指几何问题探究中的条件动、结论动、图形动、方法动、思维动等等.） 一.“从特殊到一般”的基本含义 从特殊到一般（或从一般到特殊）是指通过对特殊现象的认识，利用归纳、类比、猜想（很多专家都认为，猜想本身就是一种合情推理.）等推理形式，探索发现结论的一般性、延展性及可变性，解决问题手段和方法的规律性，图形变化的可持续性等等. 二.“从特殊到一般”基本含义的诠释 1.探“源” 1.1源 源是指在数学的文字语言、图形语言、符号语言中存在的可以运用“从特殊到一般”这一思维方式进行问题探究的切入点和关键点.“从特殊到一般”的源可分为“特殊化源”和“一般化源”两类. 特殊化源：能将一般化问题特殊化的切入点和关键点称为特殊化源. 一般化源：能将特殊化问题一般化的切入点和关键点称为一般化源. 1.2源认知 个体在认知活动中，运用所掌握的知识和具备的能力对要完成的活动进行积极探索和相应的调节，以达到探“源”的目的.这样的思维活动过程，叫做源认知.这是驾驭“从特殊到一般”这一数学思维方式的核心所在. 2.“源”存在的几种基本形式 2.1“源”之一：题设中隐含的条件 【题1】如图1所示，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且BE+DF=EF. 则∠EAF= 度. 探究策略： ①点E、F可以是边BC、CD上的任意一点. ②问题的核心是∠EAF可以绕点A旋转，且∠EAF的度数是一个定值. ③猜想：在图形较准确的前提下，直接测量. 特殊化源：在确保BE+DF=EF的前提下，点E、F可以是边BC、CD上的特殊点. ①设点E、F分别与C、D重合，如图1—1，此时BE=BC，DF=0，EF =CD，仍满足BE+DF=EF.显然有∠EAF=45°. ABCDEF图1ABC(E)D(F)图1-1ABCDEF图1-2② A B C D E F 图1 A B C(E) D(F) 图1-1 A B C D E F 图1-2 启示：探究一般化图形中的结论，可以抓住已知条件中隐含的可变因素，将图形特殊化，从而暴露出图形的本质属性. 2.2“源”之二：解题过程中隐含的条件 【题2】如图2，△ABC中，AB=AC，DA=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE= 度. 图2ABCDEABCDE图2-1解：设∠B=∠C 图2 A B C D E A B C D E 图2-1 则有解之得y=z，即∠DAE=60°. ∠DAE=60°意味着什么？△ADE是等边三角形！ 几何竟然如此纯真，这般和谐！ 探究策略： ①显然，图2中∠BAC＞60°，此时点D在BC边上.若∠BAC＜60°，如图2—1，则点D应在CB的延长线上，点E则在AC的延长线上.此时，△ADE仍是等边三角形. ②从解题过程可知，方程组中两个10与一个20正好抵消，这意味着将条件一般化为∠BAD=2∠EDC，就有△ADE是等边三角形的结论. ③当∠BAC=60°时，点D与点B重合，即△ABC与△ADE重合.此时∠BAD=2∠EDC =0°. ④逆向思维：若△DAE是等边三角形，其他已知条件不变，则∠BAD=2∠EDC成立吗？ 一般化源：由解方程组中两个10与一个20不加修饰的抵消，得出一般化条件∠BAD=2∠EDC. 启示： ①反思解题过程，极有可能是下一个精彩的开始. ②在反思解题过程中，依据已知的若干个别因果联系（特殊化），往往能洞察更一般化的本质属性，从而揭示出未知的一般因果联系. 2.3“源”之三：结论中隐含的条件 【题3】如图3，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. （1）设长方形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？ （2）设长方形的面积为ym2，当x取何值时，y最大？最大值是多少？ 【题4】如果把长方形改为如图4所示的位置，其他条件不变，那么长方形的最大面积是多少？ A A 40m 30m 图3 B D C A 40m 30m 图4 B D C （说明：