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七. 随机系统最优控制 (Stochastic Optimal Control) 引 言  前面都是以确定性系统为基础讨论最优控制问题，而实际上 绝对的确定性系统几乎不存在，各种工程系统中总是或多或 少地存在不确定性。  如何处理系统中的不确定性已经是当前控制理论研究的重要 问题。引起不确定性的原因很多，处理的方法也有很多。  随机系统控制理论考虑不确定性问题中的随机扰动部分，方 法是将确定性控制系统理论与概率论、随机过程理论方法相 结合。  随机系统最优控制作为随机系统控制理论的重要组成部分， 是建立在最优状态估计基础之上的。但由于最优状态估计在 其他课程中已有介绍，不是本课程的重点，因此暂且略过。 7.4 随机系统最优控制 随机系统最优控制的两种主要表现形式: 最小方差控制——基于输入输出模型 随机二次型最优控制——基于线性状态空间模型 最小方差控制问题可以看作是随机线性二次型最优控制问 题的特例，所以这里只讨论随机线性二次型最优控制问题。 (1)系统状态对随机作用的响应 设在随机作用下系统状态方程为  x (t) A(t)x (t) G(t)w(t) (7-4-1) 初始状态为 x (t ) x (7-4-2) 0 0 其中x (t)是n维随机状态向量；x 是n维随机初始状态向量，其统计性 0 能为 E [x (t )] E [x ]  (7-4-3) 0 0 0 T (7-4-4) Var[x (t )] E {[x  ][x  ] } P (t ) P 0 0 0 0 0 x 0 x 0 w(t)是m维零均值高斯白噪声过程，统计性能为 Cov[w(t), w()] E [w(t)w()T ] Q(t)(t ) (7-4-5) 1 ε ε  , τ t τ 其中，δ(t τ) ε 2 2 为狄拉克δ函数；Q’(t)为动态 0 , t 等于其他值 噪声w(t) 的协方差矩阵。并设x (t0)与w(t)无关，即 Cov[x (t ), w()] E {[x (t )  ][w(t ) Ew (t )]T } 0 (7-4-6) 0 0 0 则可以证明存在下列有关x (t)统计性能的关系式： i) x (t) 的均值满足矩阵微分方程 d [Ex (t )] A(t )Ex (t ) G(t )Ew (t ) (7-4-7) dt E [x (t )]  (7-4-8) 0 0 ii) x(t) 的方差阵满足矩阵微分方程  T T (7-4-9) P (t ) A (t )P (t ) P (t )A (t ) G(t )Q(t )G (t ) x x x 及初始条件