几何变换之旋转.docVIP

如图，在中，，垂足为．分别是上的点，且．如果，那么__________． 【答案】 、分别是正方形的、边上的点，且．求证：． 【答案】在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 、、分别是正方形的、、边上的点，，．求证：． 如图，矩形中，是上一点，交于点，若，矩形周长为，且，求的长． 【答案】∵，∴． ∵， ∴． 在三角形与中，，， ， ∴． ∴． ∵矩形周长为， ∴． ∵， ∴且．∴． 即 如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是______． 【答案】 两个全等的、的三角板、，如右下图所示摆放，、、在一条直线上，连结．取的中点，连结、，试判断的形状，并说明理由． 【解析】判断是等腰直角三角形．理由： 如图，连结． ∵，，∴ ∵，∴ 又∵是的中点，∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，∴ ∴， 而，∴ 即，∴是等腰直角三角形． 已知等腰直角三角形，为直角，为的中点．．求证：．求证：． 如图所示，已知在等腰直角三角形中，是直角，是上一点，，的延长线交于，若，求证：是的中点． 【答案】过作垂直于交延长线于点； 易证，；进而证明，得到，则为中点． 如图所示，在等边中，，为的中心，为的中点，求证． 【答案】如图所示，延长至点，使，连接、、、、． 因为，，， 故≌，则，． 因为，则，． 因为为的中心，则，． 因为，故≌，从而． 因为，故． 【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法． 如图所示，取的中点，连接、、、． 因为为的中心，故，． 因为，，故． 因为，，故， 因为，故∽，，则、、、四点共圆． 因为，故． 已知为等腰直角的斜边上任意一点，、分别为、之垂线，垂足为、．为之中点．则、、组成等腰直角三角形． 【答案】解法一： 如图，连接，则为之中线，亦为之高． ∴． ∵， ∴为矩形，故． 又∵， ∴为等腰直角三角形，∴．∴． 又∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴，即． ∴为等腰直角三角形． 解法二： 如图，由作，，则显然由于为之中点，，， ∴为正方形，故． 又设交于， 则∵，， ∴．而． ∴为矩形，故． 同理． 又∵，∴． ∴为等腰直角三角形， ∴，故． 又，． ∴， ∴，． 又， ∴． 即，故为等腰直角三角形． 解法三：如图，延长到，使，连接． ∵， ∴、、、点组成平行四边形． ∴，． 又∵，∴， ∴． 又∵，，∴．同理． ∵为矩形， ∴，，故．而， ∴，． ∴． ∴，，． ∵， ∴．故． ∴为等腰直角三角形．而为底边之中点，所以亦为等腰直角三角形． 解法四：如图，连接，则因为为之中点，所以，平分，即．由向引垂线，向引垂线，显然为矩形．则． 又∵为等腰直角三角形，． 又∵，，， ∴为矩形，故． 于是在和中，，，， ∴， ∴，故． 又∵， ∵，即． 同理，为等腰直角三角形． 解法五：如图，连接、． ∵，为等腰直角三角形， ∴． ∴、、、点共圆．∴． 又∵，∴，∴、、、点共圆． ∴，，∴是等腰直角三角形． 长方形中，，，的角平分线交于点，交于，则_________． 【解析】由，平分可知． 由基本图可知，故又，，故．由勾股定理可知，． 从而可知． 【答案】5 如图，设和都是正三角形，且，则 的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系． 解 易知，， 于是,从而, 在考虑到,有： 从而，选B。 已知：是的高，点在的延长线上，，点在上，，求证：⑴；⑵． 【答案】如图，设交于． ⑴ 由，，知 ． 而， 故． 由已知，有，，从而， 即有． ⑵ 由⑴可得，而 ． ． 从而可得，即． 如图，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且． ⑴ 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系； ⑵ 将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； ⑶ 将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为⑵中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；． （2）；． ①由已知，得，∴． 又∵，∴．∴． 在和中， ， ∴，∴． ②如图，延长交于点． ∵，∴． 在中，，又， ∴．∴．∴． （3）成立． ①∵，∴． 又∵，∴．∴． 在和中， ， ∴．∴． ②如图，延长交于点，则． ∵，∴． 在中，， ∴．∴．