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隐式方程换元的方法总结 　　换元法解方程　　西安市第八十五中学江树基　　换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的．换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等．　　解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧．　　一、分式方程　　分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设　　∴2=0，解得y=1．　　经检验，x1，x2都是原方程的根．　　分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x．　　解：设y=x2+2x，则原方程可化为　　即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3．　　x2＋2x=-3，无实数解．　　例3解方程　　分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x2＋2x＋10．　　解：设y=x2＋2x＋10，则原方程可化为　　解得y1=9x，y2=-5x.　　由x2＋2x＋10=9x，解得x1=5，x2=2．由x2＋2x＋10=-5x，解得x3=-5，x4=-2．经检验知，它们都是原方程的解．　　注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的．　　二、无理方程　　两边立方，并整理得　　y3-2y2＋3y=0，即y=0，∴y=0或y2-2y＋3=0，无解．　　经检验知x=-1是原方程的解．　　可设两个未知数，利用韦达定理解．　　原方程为m＋n=1，又∵3=m3＋n3＋3mn·=4+3mn=1，∴mn=-1．　　=-1，即x2-2x-4=0，解得　　经检验知，x1，x2是原方程的解．　　2+2=52，解得y=±5．　　经检验知，x=10，x=-510是原方程的解．　　∴|y+2|＋|y-2|=4，　　当y＜-2时，-y-2-y＋2=4，∴y=-2．当-2≤y＜2时，y＋2+2-y=4，∴4=4，当y≥2时，y＋2＋y-2=4，y=2．∴-2≤y≤2，又y≥0，∴0≤y≤2，　　经检验知，1≤x≤2是原方程的解．　　再把上边方程两边平方整理得　　x4-2ax2+a2-a-x=0，　　∴a2-a＋=0，解得　　由②得-x=a-x2，∵a-x2＞0，-x＜0，方程②无解．故选．注：此例中把字母a视为变量，反而把x看成常量，这种反客为主的替代法称为“常数代换”法．　　三、高次方程　　例9解方程4＋4=82．　　原方程变为4+4＝82，　　整理得y4＋6y2-40=0，解得y1=2，y2=-2．由x＋2=2，得x1=0．由x＋2=-2，得x2=-4．　　所以原方程的解是x1=0，x2=-4．　　注：一般地形如4+4=c的方程可用均值法，设y　　例10解方程6x4+5x3-38x2+5x+6=0．　　解：显然x=0不是方程的解，故用x2除方程两边，整理得6+by+c=0使问题得解．　　2．形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0的方程称第二类倒数方程，其特点是：与首末两项等距离的偶次幂的项的系数相等，奇次幂项的系数的绝对值相等而符号相反，用x2除方程两边，并按下述方法并项，得a：　　“△”读作“德尔塔”，在一元二次方程中△＝b－4ac2　　△＝b－4ac＞0＜====＞方程有两个不相等的实数根，即：x1，x22　　△＝b－4ac＝0＜====＞方程有两个相等的实数根，即：x1＝x22　　△＝b－4ac＜0＜====＞方程没有实数根。2　　二、典型例题　　例1：方程2-5+2=0，如果设x2-3=y，那么原方　　程可变形为　　A．y-5y+2=0B．y+5y-2=0C．y-5y-2=022D．y2+5y+2=0分析：此题主要利用换元法变形，注意变形时3-x与x-3互为相反数，符号要变化．222　　解答：∵x-3=y2　　∴3-x=-y2　　用y表示x后代入-5+2=0得：222　　y+5y+2=0．2　　故选D．　　________________________________________________________________________　　_________________　　例2：已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为　　A．-5或1B．1C．5