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高中数学典型例题分析 第十章 导数及其应用 §10.1 导数及其运算 一、知识导学 1. 瞬时变化率： 设函数 y f (x ) 在 x0 附近有定义， 当自变量在 x x0 附近改变量为 x 时，函数值相应地改变 y f (x0 x) f (x ) ，如果当 x 趋近于 0 时，平均变化率 y f (x0 x) f (x 0 ) 趋近于一个常数 c （也就是说平均变化率与某个常数 c 的差的绝 x x 对值越来越小， 可以小于任意小的正数） ，那么常数 c 称为函数 f (x ) 在点 x0 的瞬时变化率。 f (x x ) f ( x ) 2. 导数：当 x 趋近于零时， 0 0 趋近于常数 c 。可用符号“ ”记 x f (x x) f (x ) f (x x ) f (x ) 作：当 x 0 时， 0 0 c 或记作 lim 0 0 c ，符号 x 0 x x “ ”读作“趋近于” 。函数在 x0 的瞬时变化率，通常称作 f (x) 在 x x0 处的导数，并记 作 f (x0 ) 。 3. 导函数：如果 f (x) 在开区间 (a, b) 内每一点 x 都是可导的， 则称 f (x) 在区间 (a,b) 可 导。这样，对开区间 (a,b) 内每个值 x ，都对应一个确定的导数 f ( x) 。于是，在区间 (a,b) 内， f (x) 构成一个新的函数， 我们把这个函数称为函数 y f (x ) 的导函数。 记为 f (x) 或 y （或yx ）。 4. 导数的四则运算法则： 1）函数和（或差）的求导法则：设 f (x) ， g (x) 是可导的， 则 ( f (x) g (x)) f (x) g (x) 即，两个函数的和 （或差）的导数，等于这两个函数的导 数的和（或差） 。 2 ）函数积的求导法则：设 f (x) ， g (x) 是可导的，则 [ f (x )g (x)] f (x) g (x ) f (x )g (x) 即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数 乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。 3）函数的商的求导法则：设 f (x) ， g (x) 是可导的， g (x ) 0 ，则 f ( x) g(x ) f ( x) f (x) g (x) 2 g (x) g (x ) 5. 复合函数的导数 : 设函数 u ( x) 在点 x 处有导数 ux (x) , 函数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 yu f (u) , 则复合函数 y f [ (x )] 在点 x 处有导数 , 且 yx yu ux . 6. 几种常见函数的导数： n n 1 (1) C