线性代数修订版 董晓波1.2 矩阵的运算.ppt

1.2.3 矩阵的乘法 引例 某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛 成绩如表 初赛 复赛 甲 80 90 乙 60 85 如果规定歌唱比赛的最后成绩由初赛和复赛综合裁定， 其中初赛占40%，复赛占60%，那么甲、乙的最后成绩 可用如下矩阵形式表示： 或 定义 的行数相等，则由元素 设矩阵 的列数与矩阵 记作 构成的 矩阵 称为矩阵 与矩阵 的乘积. 例 解 设 例 故 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例 如 不存在. 例 已知 计算 解 不能相乘 左单位元 若 ， 称为 的左单位元 右单位元 同样定义 若 则 的左单位元为 阶单位阵 若 则 的右单位元为 阶单位阵 若 即 阶单位阵 为 一般地： 矩阵乘法的运算律 （其中 为数）; 注意　矩阵不满足交换律，即： 例如 设 则 一般地，称 为 左乘 (或 被 左乘) ， 称 为 右乘 (或 被 右乘)。 故 从上述例子还可以看出矩阵乘法不满足消去律. 两个不全为零的矩阵，乘积可能为零矩阵. 注： 当然，并不是所有矩阵相乘都不可以交换，例如： 对单位阵E，易证 或简写成 则 称为方阵 方阵的幂运算 定义 设 A 为 n 阶方阵， 的 次幂. (1) (2) 运算律 若 与 相乘可换，则 (1) (2) (3) 称方阵 与 是相乘可换. 若 方阵的多项式 数 的多项式 是常数 记为 等. 方阵 的多项式 类似： 方阵多项式也有类似的因式分解运算，如 线性方程组的矩阵表示 设含有 个未知数， 个方程的线性方程组 系数矩阵 未知数向量 常数项向量 增广矩阵 根据矩阵的乘法，有 由矩阵相等的定义 称之为矩阵方程 称为矩阵方程的解向量 再例如 设 为元素已知的矩阵， 为元素 未知的矩阵， 下列都是矩阵方程： 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例如 1.2.4 矩阵的转置 例 设 求 解 转置矩阵的运算律 （1） （2） （3） （4） 例 已知 解法1 解法2 对称矩阵与反对称矩阵 定义 设 为 阶方阵， 若 ，即 若 ，即 则称 为对称矩阵. 则称 为反对称矩阵. 矩阵的运算 §1.2 定义 1.2.1 矩阵的加法 设有两个 矩阵 矩阵 与 的和记作 ，规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 例如 矩阵加法的运算规律 （1）交换律 （2）结合律 负矩阵 矩阵减法 有关加减法的恒等式： (1) (2) 其中 为 与同型的零矩阵． 定义 1.2.2 数与矩阵相乘 由定义得 数乘矩阵的运算律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. 设 为 矩阵， 为数 ,