《高等代数》二次型.pptVIP

第九章 二次型 9.3.1 正定二次型与正定矩阵 9.3.2 正定二次型的判别 9.5 双线性函数 二次型与双线性函数有着密切的关系，后者也是线 性代数里一个非常重要概念。在这一章的后面，我们介绍 一个双线性函数。 回忆7.1例6，数域F上向量空间V到F的线性映射也叫作V 上线性函数。现在定义双线性函数的概念。 定义 1 设V是数域F上一个向量空间。V上一个双线性 函数指的是一个映射,对于V中任意一对向量，有F中唯一 确定的数与它对应，并满足下列条件： 现在设V是数域F上一个 维向量空间。 是V上一个双线性函数。取定V的一个 基 ,记 , 这个 个数组成F上一个 的矩阵 矩阵A叫作双线性函数 关于基 的格拉姆 （Gram）矩阵。 设 ， 是V的任意两个向 量。由（1），我们有 （2） 反过来，给了F上一个 的矩阵 ,那么 公式（2）唯一定义V上一个 双线性函数,它关于 基 的格拉姆矩阵就是A 利用矩阵的乘法，（2）可以写成 设 是V的另一个基。 是 关于这个基的格拉姆矩阵。令 是 由基 到基 的过渡矩 阵 于是 等式右端恰是矩阵的第行第列的元素，所以 （3） 这就是说，V上一个双线性函数 关于V的 两个基的格拉姆矩阵是合同的。 在双线性函数的理论里，对称双线性函数占有 重要的地位。数域F上向量空间V上一个双线性函数 说是对称的，如果对于V中任意两个向量 ， 来说，都有 。 例如，欧氏空间的内积就是一个对称双线性函数。 以下总设V是数域F上一个有限维向量空间。 。如果 是V上一个对称双 线性函数，那么 关于V的任意基的格拉姆矩阵 都是对称矩阵，反过来，如果V上一个双线性函数 关于V的某一个基的格拉姆矩阵是对称的，那么 一定是对称的。由于矩阵的合同保持矩阵的对称 性，所以 关于V的任意基的格拉姆矩阵都是对称 矩阵。 给了V上一个对称双线性函数。对于 ，定 义 于是就得到一个映射 叫作与 关联的二次函数。设 关于V的基 的格拉姆矩阵是 由(2)得 这是F上一个n个变量的二次型。它是二次函数 关于基 的表示式。同一个二 次函数关于不同的基所确定的二次型是等价的 。 定理 9.5.1 设V是实数域R上一个n 维内积空 间 ，配备了一个内积 。那么存在V的一个基 和非负整数p和r，使得 (i) ,若 ； (ii) 整数p，r是由 唯一确定的 。 证 我们总可以假定 不是零函数。取定V的一个 基 ， 关于这个基的格拉姆矩阵 是 。 。与它关联的二 次型q关于这个基的表示式是 ，由 定理9.2.3这个二次型必与如下形式的二次型等价： 这相当于说，存在V的一个基 ，使得 条件（i），（ii）被满足。r是格拉姆矩阵的秩， 自然是由 唯一确定的。由定理9.2.4，p也是由 唯一确定的。 设 是实数域R上n维向量空间V的内积。如果与之关 联的二次型q是正定（或负定）的，就说 是一个 正定（或负定）内积。设W是V的一个子空间。V的内 积 在W上的限制 自然是W上一个对称双线性函 数，也就是W的一个内积。保留定理9.5.1的前提和 所用的符号，令 则 在 上的限制是正定的，在 上的限制是 负定的，在 上的限制是0（零函数），并且 回忆一下欧氏空间的定义，我们有 定理9.5.2 设V是实数域R上一个n维向量空间，配备 了一个内积 。则V是欧氏空间当且仅当是正定。 证 是一个n