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线性代数自考重点总结 　　行列式　　1.行列式的性质　　性质1行列式与它的转置行列式相等D?DT.　　性质2互换行列式的两行，行列式变号.　　推论1如果行列式有两行的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.　　abc　　如a?b?c??0abc　　性质3行列式的某一行中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.　　a11　　如ka21　　a12ka22a32　　a13a33　　a11a31　　a12a22a32　　a13a23a33　　ka23?ka21　　a31　　推论2如果行列式中有两行元素成比例，则此行列式的值为零．　　abc　　如a?b?c??0kakbkc　　性质4若行列式的某一行的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.　　a11　　?如a21?a21　　a31　　a12?a22?a22　　a32　　a13a33　　a11a31　　a12a22a32　　a13a23a33　　??a21a23?a23　　a11　　??a21　　a31　　a12　　?a22a32a13　　?a23a33　　性质5把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.　　a11　　如a21　　a12a22a32　　a13a23?a33　　a11a21a31?ka11　　a12a22a32?ka12　　a13a23a33?ka13　　a31　　2.余子式与代数余子式　　在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij，Aij?(?1)　　i?j　　Mij叫做元素aij的代数余子式．　　a11　　如a21　　a12a22a32　　a13　　a31　　a23，元素a23的余子式为M23?　　a31　　a33　　2?3　　a11a12a32a12a32　　，　　元素a23的代数余子式为A23?(?1)M23??　　a11a31　　.　　3.行列式按行展开法则　　定理1行列式的值等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即　　D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin或D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj　　?i?1,2,?,n;j?1,2?n?　　a11　　如a21　　a12a22a32　　a13　　a23?a11A11?a12A12?a13A13a33　　a31　　定理2行列式任一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即　　ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0,或a1jA1j?a2jA2j???anjAnj?0,i?j.　　?i?1,2,?,n;j?1,2?n?　　4.行列式的计算二阶行列式三阶行列式　　a11a21　　a12a22　　?a11a22?a12a21　　a11a21a31　　a12a22a32　　a13　　a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32a33　　?1　　对角行列式　　?1　　?2　　?　　?n　　a11　　??1?2??n，　　?2　　??n　　?(?1)　　n(m?1)?1?2??n　　a11　　a22　　a12?a1na22?a2n　　三角行列式　　a21　　?　　an1　　?　　an2??ann　　?　　??　　anna1n　　?a11a22?ann　　a11a21　　?　　an1　　?a1,n?1a1n?a2,n?1　　?　　?　　an1　　a2,n?1a2n　　?　　an2　　??　　?　　ann　　?(?1)　　n(n?1)2　　a1na2,n?1?an1　　消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.　　降阶法：利用行列式的性质，化某行只有一个非零元素，再按该行展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.　　加边法：行列式每行所有元素的和相等，将各行元素加到第一列，再提出公因式，进而求出行列式的值.　　矩阵　　1.常见矩阵　　1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ.2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E.　　?a11?　　3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如?　　????a11?a21?4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如????an1　　a12?a22　　a1n??a2n?????