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“设而不求”在高中数学教学中的应用 （武汉市蔡甸区第二中学 高利华 430108） 摘要：“设而不求”是高中数学中的一种重要思想方法，它与函数、数列、不等式、方程等相关问题的紧密联系。本文主要剖析“设而不求”在高中数学中的应用。 关键词：设而不求；高中数学 所谓“设而不求”，顾名思义就是指在解题过程中根据需要设出变量，但是并不具体的去直接解出变量的值，而是利用某种关系去表示变量间的联系。如果能灵活进行运用对于提高解题速度会起着很好的效果，但是学生往往对于这个方法很刺手，本文通过几个例题进行阐述，希望能加强学生对块知识的理解。 题型一、求函数的解析式 例1：已知，，若为奇函数，当,求函数的解析式。 分析：当时，即，满足条件给的解析式，再利用奇函数性质可求。 拓展：定义在上的函数满足，求函数的解析式。 提示：将…①中的用替换，则得到…②。然后用①－②×2即可得所求的解析式。 题型二、数列 例2：已知等差数列｛｝，前项和为，若，求。 分析：等差数列依次等距离和仍构成等差数列，即仍构成等差数列。很易求出，，所以。 题型三、不等式 例3：求证：。 分析：本题可以看成点、、两个线段、长度之和大于等于线段的长度，只有当三点共线时才取等号。 拓展：已知圆，相互垂直的两条直线、都过点，求、被圆所截得弦长之和的最大值。 提示：过圆心作两直线垂线垂足分别为、，再根 据圆的弦心定理可得：取最大值， 由题意可得四边形为矩形，且， 再利用不等式可求最大值，当且仅当时，取“＝”。 题型四、求直线方程 例4：已知两点，，这两点到点距离相等，求点的轨迹方程。 提示：由题意知的轨迹是线段的垂直平分线，设，线段的中点，则，即。因，所以可得。 变形1：已知两点，，直线经过且已知两点到直线距离相等，求直线方程。 提示：本题有两种可能：平行或过线段的中点，在所求直线上设任意一点（不与点重合）坐标为，仿照上面例子用向量共线可解决。 变形2：已知直线，求直线关于对称的直线方程。 分析：设所求直线上任意一点，则它关于的对称点为应落在已知直线上，故点的坐标满足直线的方程，即，再将、换成、即可。 题型五、求圆锥曲线方程 例5：已知椭圆，求以为中点的弦所在直线的方程。 提示：设弦的两端点分别为，则，又、两点均在椭圆上，故有，。两式相减得=－4，故，得所求方程为。 变形1：（苏教版P66、10）已知双曲线，过点能否作一条直线交双曲线于，，使为线段的中点？ 提示：设存在直线满足题意且、，则。两式相减可得（※）。由为线段的中点可得，。由双曲线的对称性可知，直线不可能垂直轴。这样（※）化简可得。 故直线方程可求出，即存在满足题意的直线。 拓展1：（苏教版P66、16）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率为，又，求的值。 提示：因，在已知直线上，故设，因点为的中点，所以得，由直线（为原点）的斜率为可得…（1），因，在椭圆上，则，两式相减可得：…（2）。联立（1）、（2）可得…（3），由椭圆与直线交于点，，可知为方程的两个根，则利用根与系数的关系可得：…（4），再利用，可得，即，将（4）代入化解可得…（5），联立（3）、（5）可解得的值。 拓展2：、是抛物线上的两点，满足（为坐标原点），求证：、两点纵坐标之积为定值且直线经过一个定点。 提示：设、，则，，因为，所以 。，即。 因为，所以，则直线的方程为＝ ，即，所以可得直线经过一个定点（，）。 数学思想方法是数学的核心，熟练应用数学思想方法解决问题是数学素养优秀的表现，新课标特别关注数学思想方法在训练学生思维和能力上的应用。“设而不求”是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。 参考文献 【1】 HYPERLINK /Article/CJFDTOTAL-ZDSX201103019.htm \t _blank 2011年全国高中数学联赛候选试题的启事[J];中等数学;2011年03期 【2】程伟丽; HYPERLINK /Article/CJFDTOTAL-SXJU201105011.htm \t _blank 高中数学的学习方法[J];新课程学习(中);2011年05期 【3】 HYPERLINK /Article/CJFDTOTAL-ZDSX201103012.htm \t _blank 《2011全国高中数学联赛模拟题集萃》[J];中等数学;2011年03期 【4】杨玉忠; HYPERLINK /Article/CJFDTOTAL-QNWJ201112064.htm \t _blank 浅议高中数学的学法指导[J];青年文学家;2011年12期 【5】吴霞; HYPERLINK /Article/CJF