求值域种方法.docVIP

PAGE / NUMPAGES 求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数的值域。 【解读】∵，∴，∴函数的值域为。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①；②； ③； eq \o\ac(○,4)，。 【参考答案】①；②；③；eq \o\ac(○,4)。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数（）的值域。 【解读】。 ∵，∴，∴，∴，∴。 ∴函数（）的值域为。 例3．求函数的值域。 【解读】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： 配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。 例4．若，试求的最大值。 【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点，确定一条直线，作出图象易得： ，y=1时，取最大值。 【练习】 2．求下列函数的最大值、最小值与值域： ①；②；③； ④；eq \o\ac(○,5)，；eq \o\ac(○,6)。 【参考答案】①；②；③；④；eq \o\ac(○,5)；eq \o\ac(○,6) 三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。 适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。 例5．求函数的值域。 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。 反解得，故函数的值域为。 【练习】 1．求函数的值域。 2．求函数，的值域。 【参考答案】1．；。 四．分离变量法： 适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。 例6：求函数的值域。 解：∵， ∵，∴，∴函数的值域为。 适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式。 例7：求函数的值域。 分析与解：观察分子、分母中均含有项，可利用分离变量法；则有。 不妨令：从而。 注意：在本题中若出现应排除，因为作为分母.所以故。 另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出的值域，进而可得到的值域。 【练习】 1．求函数的值域。 【参考答案】1． 五、换元法：对于解读式中含有根式或者函数解读式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解读式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。 例8：求函数的值域。 解：令（），则，∴。 ∵当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。 例9：求函数的值域。 解：因，即。 故可令，∴。 ∵，， 故所求函数的值域为。 例10.求函数的值域。 解：原函数可变形为： 可令X=，则有 当时， 当时， 而此时有意义。 故所求函数的值域为 例11. 求函数，的值域。 解： 令，则 由 且 可得： ∴当时，，当时， 故所求函数的值域为。 例12. 求函数的值域。 解：由，可得 故可令 ∵ 当时， 当时， 故所求函数的值域为： 六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。 例13：求函数的值域。 解：由变形得， 当时，此方程无解； 当时，∵，∴， 解得，又，∴ ∴函数的值域为 七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例14：求函数的值域。 解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大， ∴函数在定义域上是增函数。 ∴， ∴函数的值域为。 例15. 求函数的值域。 解：原函数可化为： 令，显然在上为无上界的增函数 所以在上也为无上界的增函数 所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值 显然，故原函数的值域为 适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减） 例16：求函数的值域。 分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性（同增异减）知：。 八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用等。 例17：求函数的值域。 解：由原函数式可得：，可化为： 即 ∵ ∴ 即 解得： 故函数的值域为 注：该题还可以使用数形结合法。，利用直线的斜率解题。 例18：求函数的值域。 解：由解得， ∵，∴，∴ ∴函数的值域为。 九、图像法（数形结合法）：其题型是函数解读式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，