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复变函数的积分总结 　　复变函数积分小结　　??第二类曲线积分：I?(u?iv)(dx?idy)?C????若与积分路径无关：I??C1f(z)dz????Cf(z)dz??定积分：I????f(z(t))z?(t)dt，已知积分曲线C的复数形式参数方程z?z(t)????????牛顿?莱布尼茨公式：?z1　　zf(z)dz?G(z1)?G(z0)　　0?　　????f(z)dz?0，f(z)在C所围成的区域内处处解析??C??　　???1?0,n?0C(z?z)n?1dz??　　复积分????0?2?i,n?0　　??????f(z)dz?2?if(z0)(柯西积分公式）C??(z?z0)??f(z???Cf(z)dz????)?1dz?2?if(n)(z0)(高阶导数公式）C??(z?z0)nn!??????Cf(z)dz???Cf(z)dz(闭路变形定理）1????n????Cf(z)dz???f(z)dz(复合闭路定理）??k?1?Ck　　n　　???f(z)dz?2?i?Res[f(z),z?????Ck](留数定理）　　k?1柯西-古萨基本积分定理）有大小.2.复数的表示1　　）模：z　　?　　2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?；主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。3）arg?z?与arctany之间的关系如下：　　x　　y　　；x　　y??xy??x　　当x?0,　　argz?arctan　　?　　y?0,argz?arctan??　　当x?0,?　　?y?0,argz?arctan??　　；　　4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。　　5）指数表示：z?(二)复数的运算　　1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2?2.乘除法：　　1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则　　z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；　　zei?，其中??argz。　　z1x1?iy1?x1?iy1??x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?y2x1　　????i2222z2x2?iy2x2?iy2x2?iy2x2?y2x2?y2　　z1ei?1,z2?z2ei?2,　　。　　2）若z1?　　则　　z1z2?z1z2e?1　　i???2?　　；z1　　z2　　?　　z1z2　　e?1　　i???2?　　3.乘幂与方根1）若z?2）若z?　　1n　　z(cos??isin?)?zei?，则zn?z(cosn??isinn?)?zein?　　n　　n。　　z(cos??isin?)?zei?，则　　??2k???2k???　　?z?cos?isin?　　nn??　　(k?0,1,2?n?1)　　复变函数　　1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2．复初等函数　　1）指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且?ez???ez。　　注：ez是以2?i为周期的周期函数。3）对数函数：　　Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2?)；　　主值：lnz?lnz?iargz。　　Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处　　解析，且?lnz???1；　　z　　注：负复数也有对数存在。　　3）乘幂与幂函数：a　　b　　?ebLna(a?0)　　；z　　b　　?ebLnz　　(z?0)　　注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?zb???bzb?1。　　eiz?e?izeiz?e?izsinzcosz　　,cosz?,tgz?,ctgz?4）三角函数：sinz?2i2coszsinz　　sinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz　　1　　注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；　　4）双曲函数　　shz　　ez?e?zez?e?zshz?,chz?　　22　　；　　平面内解析，且　　奇函数，chz是偶函数。在sh,zchzz　　???sh?zc,?hz??c?hz　　。shz　　解析函数的概念1．复变函数的导数1）点可导：　　f??z0?=lim　　f?z0??z??f?z0?　　?z　　?z?0　　；　　2）区域可导：f?z?在区域内点点可导。2．解析函数的概念　　1）点解析：f?z?在z0及其z0的邻域内可