三线摆的摆动动能为.DOCVIP

陈勇清：三线摆无阻尼转动的非线性运动特性探究 三线摆无阻尼转动的非线性运动特性探究 作 者 陈勇清 指导教师 毛杰健 （上饶师范学院 江西 上饶 334001） ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 摘要：根据能量守恒定理推导出三线摆无阻尼转动的动力学非线性微分方程，应用非线性的相图分析法对三线摆运动的非线性特征进行描述和分析，得到了一些新的结果。 关键词：三线摆；非线性；动力学方程；相图 中图分类号：O322 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Research on the Non-linear Motion Characteristic of Undamped Rotation of Three-string-pendulum MAO Jie-jian, CHEN Yong-qing Shangrao Normal College,Shangrao Jiangxi 334001,China) Abstract: According to energy conservation law, we deduce the dynamic non-linear differential equation on undamped rotation of three-string-pendulum. By using the analytic method of non-linear phase diagram, we describe and discuss the non-linear characteristic on rotation of three-string-pendulum. Then successfully obtain some beneficial results. Key Words: Three-string-pendulum; Dynamic equation; Non-linearity; Phase diagram 三线摆的非线性在工程学、实验和理论上都具有重要的意义,它为工程技术的振动筛提供了力学模型，为实验测定转动惯量设置了简明方法。以往我们对三线摆的研究，大部分是对运动中的某些项进行近似，从而得到它的近似解。文献[1]建立了三线摆非线性振动方程，也求出了周期近似解的表达式。文献[2]中，三线摆测定转动惯量的实验研究是通过能量守恒的方法求出它的动力学方程，而后就对方程中的变量进行近似，从而求出它的线性方程，而忽略了转动的非线性。本文通过能量守恒的原理推导出三线摆无阻尼转动的非线性转动方程；并应用非线性的相图分析法对三线摆无阻尼转动的非线性运动特性进行描述和分析，得到了一些新的结论。 1. 三线摆转动方程 图1-1图1-1为三线摆的示意图，上圆盘的半径为，水平固定在仪器上端。下圆盘的半径为R，由三根长为的轻线水平的悬挂着。 图1-1 我们把下圆盘看作是均匀的，设空气阻力、悬线伸长和悬点摩擦很小，将其忽略，研究其无阻尼自由转动。 取三线摆处于静止时，O点为势能零点，当发生角度为的扭转，三线摆的转动动能为： ， （1） 竖直方向上的平动动能为：，（2） 重力势能为：。 （3） 根据能量守恒原理即可得： =常数， （4） 其中:， （5） ， （6） 由图1-1可知： ， ， 所以： 。（7） 将（5）~（7）式代入（4）式得： =常数。 （8） 由（7）式对t微分可得： 。 （9） 代入（8）式，可得： =常数。（10） 该式为一阶变系数非线性微分方程。若初始条件设为：；。 即可以从（10）式中得到： 常数。 最终得到三线摆无阻尼转动的微分方程为： 。 （11） （11）式是一个复杂的三线摆无阻尼转动的非线性微分方程，我们应用计算机数学符号运算软件Maple 6，画出它的相轨图，再通过相图寻找三线摆运动的非线性特征。 2. 相轨图及分析 为了画图所需，首先令，，代入（11）式，并化简得： （12） 不失一般性，可设参数：m，m，m，； 将参数代入方程（12），可得：