数学建模专题之Monte_Carlo方法.ppt

数学建模专题之蒙特卡罗方法 内容提纲 1.引言 2.Monte Carlo模拟基本思想 3.随机数生成函数 4.应用实例举例 5.随机游走模拟 6.机械零件的可靠度计算 7.排队论模拟 8.Monte Carlo方法求解规划问题 9.Monte Carlo方法预测搜救区域 Monte Carlo方法的基本思想 例1. 蒲丰投针问题 利用关系式： 求出π值 其中Ｎ 为投计次数，n 为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。 一些人进行了实验，其结果列于下表 ： 基本思想 MS基本思想：为了求解数学、物理、工程技术或随机服务系统等方面的问题，首先构造一个模型（概率统计模型），使所求问题的解正好是该模型的参数或特征量或有关量，然后通过模拟（统计试验），给出模型参数或特征量的估计值，最后得出所求问题的近似解。 Matlab 中的随机数生成函数 Matlab 中的随机数生成函数 Matlab中的取整函数 小实例一：投掷硬币 小实例二：投掷骰子 小实例三：蒙特卡罗投点法 小实例三：蒙特卡罗投点法 小实例四：蒲丰投针实验 小实例四源程序 小实例五：直方图采样 小实例五：直方图采样 小实例五：直方图采样 程序 源代码simu1 源代码simu2 模拟结果 模拟结果 总结 应用范围： 随机性问题 非随机性问题 一般步骤： 建立模型，画出流程图 根据随机变量的分布进行抽样 模拟 统计出概率或求解。 谢谢大家! 随机游走模拟 随机游走是一种基于运用[0，1]区间的均匀分布随机数序列来进行的计算。 利用蒙特卡罗方法多次模拟醉汉行走，统计在x处占总次数的比值，即为概率PN(x)。 随机游走模拟 设定概率P,步数N,模拟次数M,X,j=1,S=0; i=1;x=0; i=N j=M 产生随机数确定行走方向 计算所在位置x i=i+1 j=j+1 X==x S=S+1 Y N Y N Y N 计算S/M P=0.5;N=10;M=100;X=0; S=0; for j=1:M x=0; for i=1:N if(rand(1)=P) x=x+1; else x=x-1; end end if (X==x) S=S+1; end end PP=S/M 机械零件的可靠度计算 可靠度计算主要研究机械零件在一定分布的随机应力 S（即零件的正常工作应力）作用下的可靠程度。应力和强度都是随机变量，影响应力和强度的各种因素也是随机变量。因此，机械零件的可靠度计算过程中，利用蒙特卡罗方法来处理对随机量的计算问题，具有特有的优势。 问题： 设计一个拉杆，若受外力P均值为20000N，标准差2000N，拉杆的半径D均值为20mm，标准差0.5mm，材料强度S均值412 MPa，标准差15.6 MPa，计算其可靠度。 机械零件的可靠度计算 问题分析： 机械零件的可靠度计算 理论推导： 机械零件的可靠度计算 理论推导： 机械零件的可靠度计算 蒙特卡罗模拟：通过多次试验，统计可靠零件个数，求出 其占总零件数的比值，即为可靠度。 设定总零件数N=1000，可靠零件数St=0;令P_mean=20000;P_deta=2000; D_mean=20;D_deta=0.5;Q_mean=412*10^6；Q_deta=15.6*10^6; i=1; i=N 根据已知分布产生随机数p,d,q; 计算应力s=(4*p)/(pi*d^2) Y N s=q St=St+1,i=i+1; 计算可靠度：St/N 机械零件的可靠度计算 程序： N=100000;St=0; P_mean=20000;P_deta=2000; D_mean=20*10^-3;D_deta=0.5*10^-3; Q_mean=412*10^6;Q_deta=150.6*10^6; for i=1:N p=P_mean+P_deta*randn(1); d=D_mean+D_deta*randn(1); q=Q_mean+Q_deta*randn(1); s=(4*p)/(pi*d^2); if s=q St=St+1; end end St_p=St/N; fprintf(可信度为：%f \n, St_p); 排队问题随机模拟 排队论主要研究随机服务系统的工作过程。 在排队系统中，服务对象的到达时间和服务时间都是随机的。排队论通过对随机服务现象的统计研究，找出反映这些随机现象平均特性的规律指标，如排队的长度、等待