导数在研究函中的应用(含标准答案).docVIP

导数在研究函数中的应用 PAGE \* MERGEFORMAT15 导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我查验】 一、自主归纳 1．利用导函数判断函数单调性问题 函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)0或f′(x)0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值 在包含的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____点的函数值，称点为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f()为函数的极大值． 4．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f()为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数 1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f()． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f()． 二、自我查验 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f　′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5.函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【典型例题】 考点一　利用导数研究函数的单调性 【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 【变式训练1】已知． （1）若时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间． 考点二　利用导函数研究函数极值问题 【例2】已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间. 【变式训练2】(2011·安徽)设f(x)＝eq \f(ex,1＋ax2)，其中a为正实数.当a＝eq \f(4,3)时，求f(x)的极值点； 考点三　利用导函数求函数最值问题 【例3】已知为实数，. （1）求导数； （2）若，求在上的最大值和最小值. 【应用体验】 1.函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 2.函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 3.函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 4.设函数，则（ ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 5．函数的极大值为，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【复习与巩固】 A组 夯实基础 一、选择题 1．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A． B． C． D． 2.函数在处取得极值，则等于（ ） A． B． C． D． 3.函数（为自然对数的底数）在区间上的最大值是（ ） A.1＋ B.1 C.e＋1 D.e－1 二、填空题 4.若函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是________________． 5.若函数在处取得极值，则的值为________