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差分方程从数列谈起 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §1 数列的差分 §2 一阶线性差分方程 §2 一阶线性差分方程 §2 一阶线性差分方程 §2 一阶线性差分方程 §2 一阶线性差分方程 §2 一阶线性差分方程 §2 一阶线性差分方程 §2 一阶线性差分方程 §2 一阶线性差分方程 §2 一阶线性差分方程 §2 一阶线性差分方程 §2 一阶线性差分方程 例如, 在银行帐户上以7% 的利息积累起来的钱数是 由差分方程 an?1 ? an ? 0.07an 来确定, 其中an表示n个月 后银行中的存款数. 137.7010 1967.151 10 128.6920 1838.459 9 120.2730 1718.186 8 112.4050 16.5.781 7 105.0510 1500.730 6 98.1786 1402.552 5 91.7557 1310.796 4 85.7530 1225.043 3 80.1430 1144.900 2 74.9000 1070.000 1 $70.0000 $1000.000 0 an n 利息 本金 月 定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当 把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还 满足任何给定的初始条件. 差分方程 an?1 ? an ? 0.07an 若把函数ak ? (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差 分方程就得到一个恒等式: 定义2.6 差分方程的一个通解是一个函数, 当 代入特定值后就得到相应于不同初值的特解. ak ? (0.07)kc称为差分方程an?1 ? an ? 0.07an的 通解, 因为代入c的特定值就给出与不同的初 值a0相应的特解. 数值解与解析解的比较: 在求银行模型的数值解 时只需要一个差分方程和一个初值. 这是数值解 的一个强有力的性质—求数值解时无须要求差 分方程具有特殊的性质. 只要从一个或多个初值 开始进行迭代计算就行了. 另一方面, 因为没有 第k项的一个一般的公式, 每一项必须从前一项 或几项算得. 从一个数值解来预测解的长期性态 可能是困难的. 解析解给出了一个我们可以直接计算数列 中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点 是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时 得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的 解只从属于某个初始条件. 二. 齐次线性差分方程的解析解 定理2.1 一阶线性差分方程an?1 ? ran ? b的解为 an ? bn ? c, 若r ? 1. 若r ? 1. “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，籍贯大概是比萨，卒于1240年后）。他还被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 斐波那契其人1170年生于意大利的比萨，在北非的布吉亚，即今阿尔及利亚的贝加亚（Bejaia）长大并且接受教育。大约在1200年，他才重新回到比萨。斐波那契无疑在启蒙教育时期就受到过阿拉伯数学家的影响或者接受过他们的辅导。他写过大量的数学论文，取得了一些重大的数学发现。这使他的著作在意大利非常流行，并且引发了当时罗马帝国皇帝弗雷德里克二世的注意，他曾邀请斐波那契到他在比萨宫廷觐见。斐波那契于1250年去世。 在数列的研究中, 求通项是一个非常重要的问题, 因为我们可以借助于通项来了解数列怎样变化及数列的诸如最大值和最小值, 数列增加或减少的区间的位置等的性态趋势. * * §1 数列的差分 §2 一阶线性差分方程 §3 一阶线性差分方程组 一. 数列的概念 二. 数列差分的概念 三. 差分表的性质 一. 数列的概念 一个数列就是实数的任何(有