浅谈数形结合的应用.docVIP

PAGE PAGE 2 浅谈数形结合的应用 张美花 摘要：数与形是数学研究的两个重要方面。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。本文利用数与形的结合解决数学中的一些问题，能够直观而形象地解决一些较为复杂的问题。 关键词： 数形结合 抽象 直观 应用 在研究过程中发现，数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合在数学解题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，即数量问题和图象性质是可以相互转化的，这不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。 一．代数问题用几何方法解决 数与形在一定条件下可以互相转化，如某些代数问题往往有几何背景，而借助其背景图形的性质，可以使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。 求方程2Sinx=x解的个数 解 函数y=2sinx ,y=x的图象很容易能画出(如下图) 可以看出当x2和x－2时这两个函数不可能有交点，而当－２x２时有三个交点。显然方程Sinx=2x解的个数即是这两个函数y=sinx ,y=2x的图象交点的个数，据数形结合知它们交点的个数是3,故原方程有3个不同的解. 此题如果用其它一般的求方程的方法来求是不适宜的，例如通过移项，两边同时乘，除同一数，平方，开方，积分，微分等常用的解方程的方法将无济于事。根据函数的性质进行分段的讨论又将很复杂，而且很容易就出错，甚至得不出正确的结果。但是用了数形结合的方法却清晰，快速，准切地求出了答案。 例2 求在圆上的点到直线y =x-的最大值与最小值. 分析:本题完全可以用代数的方法,即先求出圆上任意一点到直线的距离关系式,再根据函数的关系式去求的最大值与最小值.在做的过程中会发现计算非常的复杂,而且在去掉绝对值时需要进行讨论正数还是负数,可以说过程是复杂易错. 但如果建立直角坐标系,画出这两个函数的图象,可以知道尽管圆上的点到直线的距离可能不同,但圆心到直线的距离是固定不变的,再根据三角形不等式的性质,判断出(如下图所示)所求最大值为点到直线的距离,最小值为点到直线的距离. 解 由点到直线距离公式知:圆心0到直线 的距离 d = = 据数形结合知直线上的和到直线y =x-的距离最大与最小. =d + r = + 1 =d –r = - 1 因此数形结合是一种极富数学特点的信息转换，许多数量关系方面的抽象概念和解析式，若赋之以几何意义，往往变得非常直观形象，并使一些关系明朗化、简单化。 二．几何问题用代数方法解决 在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，转化为几何问题，利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解决问题的途径，因为往往一些图形的性质，又可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题代数化，以数助形，用代数的方法使问题得到解决。这对提高分析问题和解决问题能力的提高将有极大帮助. 例3 求由抛物线y=2x与直线y=x-4所围成的平面图形的面积。 解：作出它的草图:，　 y=x-4 y=2x 并求抛物线与直线的交点，即解方程组　 得交点A(2,-2),B(8,4). 一般地,我们习惯选择x为积分变量,但从图形中可以看出,若选x为积分变量,则需要所求图形的面积分成两块,即将分为两个积分区间:[0,2]和[2,8],并且求出当y0和y0时y=f(x)函数表达式,再根据数量关系用定积分求出在这两个区间的面积之和,这种过程就比较复杂. 如果选择y作积分变量，y[-2,4]，任取一个子区间[ y, y + dy] [-2,4]， 则在[ y, y + dy]上的面积微元是 dA = (x- x)dy =[(y + 4)-]dy 于是 A = [(y + 4)-] dy =（＋4y -） =(8+16-)-(1-8+) = 18 数形结合解题就是在解决与几何问题有关的问题时，将图像信息转换为代数信息，利用数量特征，将其转化为代数问题。 三 数形结合可使抽象的复杂问题简单化 巧妙应用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,有时可取到事倍功半的效果,数形结合的重点是研究”以形助数”. 例4 已知|Z|=1, 求ω=2Z+2+i的幅角主值范围 解:由已知知点ω的轨迹是=- |ω-（2+i）|=2 即 （x-2）2+(y-1)2=4 如图所示y