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* * 立体几何之－－ §9.4 直线和平面垂直的判定和性质定理 2010年5月 §9.4 直线和平面垂直的判定和性质定理 问题引入 概念教学 几条性质 判定定理 性质定理 课堂总结 应用 1.直线和平面垂直的定义 （1）复习问题:直线和平面有哪些位置关系？ （2）课题:在什么条件下直线和平面是垂直的呢？反过来，已 知它们垂直，又将有一些什么样的性质呢？ 前面我们主要研究了直线和平面平行的判定和性质,今天我们来研究 直线和平面相交的问题,主要是研究一种特殊的相交关系----垂直. (先分析几个实例) 直线在平面内 直线和平面相交 直线和平面平行 ? A B 实例一:观察日光下的旗杆及其在地面上的影子. 现象和结论: ① 日光下,随着光线的移动,影子和旗杆有什么样的位置关系? ② 由上知,即直线AB与地面内任一过点B的直线垂直. ③ 地面内的直线分为几类? 思考:对于地面内不过B点的直线它们还垂直吗? C a a’ 将直线a平移至a’. 垂直. 归纳:旗杆所在直线AB和地面内任一条直线都垂直,我们称旗杆和地面垂直. 两类.a.过B点;b.不过B点. ? A B b a 实例二 ： 直立于桌面的书 A B C E 实例三:墙壁交线和地面 (3)定义: 如果一条直线l和一个平面?内的任意一条直线都垂直，我 们就说直线l和平面?互相垂直.其中直线l叫做平面?的垂线， 平面?叫做直线l的垂面，交点叫做垂足. ? A 平面的垂线 直线的垂面 垂足 直线和平面垂直，记作 画法留意:画直线和水平平面垂直时,要把直线画成和表示 平面的平行四边形的横边垂直. (4)直线和平面垂直的画法及注意 l⊥? ? A l (5)几条重要性质 问题:已知直线l⊥平面?,直线b?平面?,那么直线l于直线b 时什么关系? 性质1: l⊥? b?? l⊥b. (由直线和平面垂直的定义可得.) 问题1:在平面内,已知一点和一条直线,那么过这个点可作多 少条直线和这条直线垂直? 有且只有一条. 问题2:若在空间呢? 无数条,且这无数条直线构成一个平面.即这条直线的 垂面. P ? . ? . P 问题3:已知一平面,在空间可作多少条直线垂直于该 平面? 无数条. 问题4:已知一点P和一确定平面?,过点P可作多少条 直线和该平面垂直? 有且只有一条,分为两类: l l ①.P在平面?内 ②.P在平面?外 试着归纳该结论。 性质2:设?是任一平面,点P是空间任意的一点,则过点P有且只有一条直线l是?的垂线. 问题5:可作多少个平面和一已知直线l垂直? 无数个. 问题6:过点P可作多少个平面和已知直线l垂直呢? 有且只有一个,分为两类: ? P . l ? . P l P不在直线a上 P在直线a上 性质3:设l是任一直线,点P是空间任意一点,则过点P和直线a垂直的平面有且只有一个. 2.直线和平面垂直的判定 问题:有了这些准备之后, 具体的如何来判定直线和平面是垂 直的呢?用什么标准? 我们回顾定义,从问题的本源出发,其本质是通过: 线线垂直 线面垂直 定义 但定义要求和面内所有直线垂直之后,才说线面垂直,有没有省力和更简洁的办法? 一个想法:可否用少量的面内直线和这条直线垂直,就能保证这 条直线和这个平面垂直呢?那么,至少要几条?这些直 线有什么限制要求? 探究: 阶段一:直线和平面内的一条直线垂直,能否保证这条直线和 平面垂直? a l ? 阶段二:直线和面内的两条直线垂直呢? a l ? b 阶段三:和三条四条…… a l ? b 实际上我们找的直线太特殊了.都和a平行了.一条肯定不行.实际上两条就足够了,但是两条相交的直线.因为两条相交的直线刚好可以确定一个平面.有如下的定理: 直线和平面垂直的判定定理一 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. ? A m n B ②.符号语言: m,n?? m∩n=B l⊥m,l⊥n l⊥? ①图形语言: ③.简记:“线线垂直,则线面垂直” ④.关键词： 判断下列命题的真假： a.如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面. b.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面. c.如果一条直线垂直于平面内的所有直线,那么这条直线垂直于这个平面. 两条,相交直线. ⑤.要判断一条直线和一平面垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交的直