第三讲 数学史概论.pptVIP

第一次数学危机 芝诺悖论 芝诺悖论: 飞矢不动 ③飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的。 时刻t ④运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。 （3）逻辑结构的倡导 § 2.3 亚历山大前期----希腊数学的黄金时代 亚历山大前期从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。 欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。 除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼(约公元前276～前195)的大地测量和以他为名的 “素数筛子” 也很出名。天文学家喜帕恰斯(公元前2世纪)制作“弦表”，是三角学的先导。 亚历山大帝国 2.3.1 欧几里得与《几何原本》 欧几里得(活动于约前300-)古希腊数学家。以其所著的《几何原本》(简称《原本》）闻名于世。关于他的生平，现在知道的很少。早年大概就学于雅典,深知柏拉图的学说。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364～前283）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯（约410～485）记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言。斯托贝乌斯（约500）记述了另一则故事,说一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。???? 欧几里得将公元前 7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题,指出若图形中某些元素已知,则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。 希腊数学史上，欧几里得具有承前启后的作用。他是希腊论证几何学的集大成者，更是亚历山大数学学派的奠基人。他对数学，或者说整个人类文明史的贡献，主要体现在他的鸿篇巨制《原本》当中。这部杰作的出台亮相，使以前所有有关数学原理的书册黯然退出了历史舞台。从问世之日起，它便倍受推崇，直到如今，世界各国的初等几何课本还在讲授它的内容。它被广泛使用和研究的程度完全可追《圣经》，而它对于科学思想的重大影响更是无与伦比。 “原本”的希腊文原意是指一个学科中最重要的定理，如同字母之于语言的作用一样，它们必须具有最一般最广泛的应用。《原本》所包含的正是这样一些数学定理。欧几里得在这里运用公理法则对当时的数学知识进行了系统化、理论化的总结。其书共分13卷，包括5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了人类文明史上第一个演绎数学的公理化体系。 在内容上，《原本》总结并推广了毕达哥拉斯学派的几何成就，欧多克斯的比例理论，以及几乎所有以前的立体几何知识，此外，还有大量的初等数论定理。在方法上，《原本》则通过完善安提丰的穷竭法，使其在面积、体积理论方面成为一种有力的、成熟的证明工具，展现了古希腊数学的思想精髓和典型意义。利用几何形式处理代数问题的思想也是它的一个显著特点。（欧几里得对毕达哥拉斯定理的证明） 欧多克斯对比例的界定并未限制涉及到的量是否可以公度，从而巧妙地回避了无理量问题，因而能够适用于更加广泛的几何命题证明。《原本》对欧多克斯比例理论的精彩阐述。这被认为是该书的最大成就之