《高等代数》多项式试题库.docVIP

PAGE PAGE 20 §1 数域[达标训练题] 一 填空题 数集{0}对 运算封闭. 自然数集对 运算封闭. 数集对 封闭. 二 判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三 证明 证明是数域,这里不是完全平方数. 证明不是数域. 若是数域,证明也是数域,而不一定是数域. ?????????????????????? §1 数域[达标训练题解答] 一 填空题 1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法. 二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题 1．证明显然. 对任意的, =+; . 当时, .故对加法减法乘法除法封闭.即是数域. 2．证明 因为, . 即对乘法不封闭.所以不是数域. 3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故也包含有理数域, 从而包含有理数域.令, 则, .由于是数域,故,;当时,, 所以.即是数域. 例如: 取=, , 容易验证不一定是数域; 取=,,显然=是数域. §2 一元多项式[达标训练题] A组 一 填空题 系数在数域上的关于文字的一元多项式指的是形式表达式 , 其中次项是 , 次项系数是 , 常数项是 . 下列形式表达式(i)2;(ii); (iii)0; (iv); (v);(vi); 其中 是多项式. 零多项式是 , 零次多项式是 . 设多项式, 则的次项系数是 . 二 判断题 1. 0是零次多项式. 2. 若,则. 3. 若都是数域上的多项式, 则或者. 三 解答题 设, 试确定, 使(i)零次多项式; (ii)零多项式; (iii)一次多项式. 若是实数域上的多项式, 证明:若则 . B组 1.设是实数域上的多项式, 证明:若则. 2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式. 3. 次数定理中,式子 何时等号成立?何时小于号成立? §2 一元多项式[达标训练题解答] A组 一 填空题 1．，， ， ；2.（i），（iii）（v） ；3. 0，非零常数 ； 4.. 二 判断题 1．(F)； 2. (F).; 3.(F). 三 解答题 1．解 因为 .利用多项式相等的定义的: (i)(ii) (iii) 即(i)当时, 为零次多项式; (ii)当时为零多项式;(iii)时是一次多项式. 2．证明 设，，则的第次项系数为=0,当得,当时得,进而,同样地,得到…….因此 B组 1．证明 若(或)显然得是一个奇次多项式, 这是不可能的.又若,则不全为零,因此也得是一个奇次多项式, 这也是不可能的. 所以 2．解 取，则. 3．解 当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数时,等号成立; 其余情形小于号成立. §3 整除的概念[达标训练题] A组 一 填空题 1. 都是中的多项式,若,则称 整除 ，称 为 的因式， 为 的倍式，记为 . 2. 若或,那么 除 的商式是 ,余式是 ,这里. 二 判断题 1. 零多项式能够整除任意多项式. 2. 整除任意多项式能够被零次多项式整除. 3. 若, 则. 4. 若,则满足该式的多项式有且只有一对. 5.若,则. 三 解答题 设，，除的余式，求. 2. 如果, 则 . 如果不整除与，则不整除与的乘积. 证明 是非负整数. 证明 ①如果, , 则; ②如果,则不一定成立. B组 一 多项选择题 1.是任意多项式,是非零常数,则下列结论成立的是 . (A);(B);(C) ; (D) ;(E) ;(F) ;(G) ;(H) . 2.若在中,整除，为强调数域，我们记.设，下列结论 正确的有 . (A)若,则;(B) 若,则; (C)若,则;(D)若,则. 3. 设,则整除于 . ①;②;③;④. 二 证明题 证明的充分必要条件是. 证明. 证明整除的充要条件是. 证明, 若,则同时整除.与例2联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论. 对照多项式的整除性理论，讨论整数的整除性理论. §3 整除的概念[达标训练题解答] A组 一 填空题