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合同变换二次型标准型 　　莆田学院数学与应用数学系　　“高等代数选讲”课程论文　　题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形　　姓名：廖丹学号：　　莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业XX级　　XX年6月20日　　用矩阵的初等变换化实二次型为标准形　　041数本廖丹　　摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形.　　关键词：初等变换第三种初等阵非异阵实二次型标准形　　1．数域下任意一个实二次型X?AX,总可以经过非奇异变换X?PY使得　　X?AX??diyi2,其中di为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法　　i?1n　　最大的缺点是不易求矩阵P.下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P.　　定义以Tij(k)表示将单位矩阵的j行的k倍加到i行,所得到的第三种初等阵.　　定理设A是n阶实对称阵,P是有限个第三种初等阵Tij(k),i?1的乘积.且　　?d1　　?PA??　　?0a??d　　?其中a是n?1维行向量,A1是n?1阶阵,则必有PAP???A1??00?　　.?A1?　　证明：由于P是Tij(k)的乘积，且i?1,根据矩阵的乘法规则，用P右乘P?A时,P?A的　　?d1　　第一列元素不变,从而P?AP??　　?0　　,即A是实对称的.?A1?　　??　　?P?AP亦为实对称阵???0　　这个定理实质上就给出矩阵A化标准形,求出变换矩阵P的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A化为上三角形.现作矩阵?A,E?找出P?使　　??d1　　??　　?????dr　　P??A,E???P?A,P?????　　?????????*????????　　?,P??则这个P?的转置阵就是我　　0?????　　??0???　　们要找的非异阵P,它使P?AP为对角阵.即只要对?A,E?作有限次第三种初等变换　　Tij(k),i?j,则当把A变换成上三角阵时,?A,E?的E就同时化为P?,且使　　?d1????dr　　?PAP??　　????　　?????.　　0???　　?0?　　?1?12???例1求非异阵P,使P?AP为对角阵,其中A??1?10.???202???　　解　　：　　?1　　?A,E?????　　?2?　　??　　?????　　?1?12100?　　?r2?r1　　?????0?22110??　　?20XX???　　1　　r3?(?2)r1　　?????　　1　　?1?12100??1?12100?　　?0?22110?????0?22110?r3?r2　　?????　　?02?2?201??000?111?????　　?11?1?　　??故由定理知P?011.???001???　　?100???P?AP?0?20???000???　　例2将实二次型2x1x2?6x2x3?2x1x3化为平方和.　　?011?　　??解：此二次型的系数矩阵A?10?3,A的主对角元素全是0,故不能立即引用???1?30???　　定理,需先对A作初等行变换及其相应的列.使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数,然后再用定理即可.　　???11?2110?　　?????10?3010?r1?r2　　10?3010??A,E????????1?30001??1?30001?????　　?21?2　　?2110??r2?1r1?　　?1r3?r??1??????3010????0?2c1?c2??2???2?30001?　　???0?2?2　　?　　21　　10　　?2?r3?4r2?????0　　??0?　　1　　?2　　0???11　　0?　　22?3?11??　　?　　??1?令X?PY,2?　　6??　　1　　1　　1?1　　21　　10??1　　0?2?11??　　?1　　?2206　　??1?　　?P??1　　??0???　　?1?　　3?　　?22　　??1　　?1?,P?AP???2???01????　　21　　则2x1x2?6x2x3?2x1x3?2y　　?　　12　　y2?6y23.2　　2．若要求一正交阵P使P?AP成对角阵,这等价于经过正交变换X?PY将二次型X?AX　　化为标准形.一般步骤是通过施密特正交化过程来求解,但此方法较为复杂,下面介绍用解一些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形.　　?An?n?列初等变换?Bn?nQn?(n?1)?　　??