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各种积分总结(共8篇) 　　关于各类积分的一些总结　　PB梁海波　　一、定积分　　实质：直线上函数的积分，积分对象是直线元dx。　　二、二重积分　　实质：平面区域上的二元函数的积分，积分对象是dxdy。　　方法：累次积分，即先固定一个变量，对另一个变量积分，再对另一个变量积分。　　三、三重积分　　实质：对空间上的三元函数积分，积分对象是dxdydz。　　方法：累次积分，可以化成三个一次积分，也可化成一个二重积分和一个一次积分。　　四、第一型曲线积分　　实质：对曲线上的一元函数积分，积分对象是曲线元ds。　　方法：转化成定积分　　曲线r=(x(t),y(t),z(t)),则??f(x,y,z)ds???f(x(t),y(t),z(t))　　sdx?t2?y?t2?z?t2dt。　　五、第一型曲面积分　　实质：对曲面上的二元函数积分，曲面元dS.　　方法：转化为二重积分。曲面r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),则??sf(x,y,z)dS???f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))Ddrdr?　　dudv　　特别的drdr??dxdy六、第二型曲线积分　　实质：变力在曲线上作功,或是对有向线元的积分,即对坐标的积分。形式：?Pdx?Qdy?Rdz①　　L　　x1y1z1　　方法：１、拆①＝?Pdx??Qdy??Rdz=??Pdx???Pdy???Pdz　　LLLx2y2z2　　(化成三个定积分)　　2、合用定义化成第一形曲线积分　　①＝?(P,Q,R)?(dx,dy,dz)??v??dl　　LL　　３、对于环路积分，一般用斯托克斯公式化去做　　①＝(P,Q,R)?(dx,dy,dz)?v??dl＝???rotv?nds　　D　　七、第二形曲面积分　　实质：通量，或是对有向面积元的积分，即对坐标的曲面积分。　　形式：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy①　　s　　sss方法：１、拆①＝??Pdydz???Qdzdx???Rdxdy　　＝?　　２、合①＝??Pdydz????ssQdzdx????Rdxdys??(P,Q,R)?(dydz,dzdx,dxdy)　　s　　＝???v?nds　　s　　３、封闭曲面的积分主要是应用高斯公式　　vnds＝????divvdV　　v　　关于这部分知识，还有很多相应内容，如曲面的定向，空间曲面法向量的求法等等，为了突出各种积分的联系和区别，这里不再论述。　　完参考书目：《高等数学导论》　　七大积分总结　　一．定积分　　1.定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n－1个分点：a=x03.非零的常数因子可以由积分号内提出来，即　　?kf(x)dx?k?f(x)dx　　(k?0).　　性质4.两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即　　??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx　　基本积分公式　　(1)?kdx?kx?C(k为常数)　　(2)?x?dx　　?　　1　　??1　　x　　??1　　?C　　(???1)　　1　　(3)?x?lnx?C　　x　　(4)?exdx?ex?C　　(6)?cosxdx?sinx?C(8)?sec2xdx?tanx?C(10)?secxtanxdx?secx?C(12)?secxdx?lnsecx?tanx?C(14)?(16)?　　11?x　　11?x　　2　　(5)?a　　x　　dx?　　a　　x　　lna　　?C　　(7)?sinxdx??cosx?C(9)?csc2xdx??cotx?C　　(11)　　?cscxcotxdx??cscx?C　　(13)?cscxdx?lncscx?cotx?C(15)?　　1?x　　2　　2　　x?arctanx?C　　x?arcsinx?C　　x?arcsinx?C　　三、换元积分法和分部积分法　　定理1.设?(x)可导，并且f(u)du?F(u)?C.则有　　?　　?f[?(x)]??(x)dxF(u)?C　　凑微分　　?f[?(x)]d?(x)　　令u??(x)　　?f(u)du　　代回u??(x)　　F(?(x))?C　　该方法叫第一换元积分法(integrationbysubstitution)，也称凑微分法．定理2.设x数F　　??(t)是可微函数且??(t)?0，若f(?(t))??(t)具有原函　　(t)，则　　x???t?换元　　?f?x?dx　　?　　f????t??????t?dt　　积分　　F?